Enunciado

As deformações específicas normais determinadas com o uso da roseta da figura, colada na superfície de um componente estrutural, são:

ε 1 = - 93,1   μ

ε 2 = - 385   μ

ε 3 = + 210   μ

Determinar: (a) as três deformações específicas normais no ponto onde as medidas foram feitas; (b) a máxima deformação de cisalhamento nesse ponto. Considere ν = 0,30 . (Nota: Lembrar que a superfície livre de um componente estrutural ou de máquina está em um estado plano de tensões.)

Passo 1

Esse problema nos fornece as deformações por meio da utilização da roseta, então a gente vai ter que achar as deformações através dos valores dados, primeiro vamos calcular os ângulos da roseta:

θ 1 = - 7 5 °

θ 2 = 0 °

θ 3 = 7 5 °

A partir daí a gente vai ter que achar as deformações ε x   e   ε y . Vamos fazer isso no segundo passo.

Depois que achamos essas deformações podemos fazer o ciclo de Mohr e a brincadeira já ta no papo, partiu então!

Passo 2

As equações que vamos utilizar são da seguinte forma:

ε θ = ε x ⋅ c o s 2 ( θ ) + ε y ⋅ s e n 2 ( θ ) + γ x y ⋅ sen ⁡ θ ⋅ c o s ⁡ ( θ )

Daí é só substituir:

Para θ 1 = - 7 5 °

ε - 75 ° = ε x ⋅ c o s 2 ( - 75 ° ) + ε y ⋅ s e n 2 ( - 75 ° ) + γ x y ⋅ sen ⁡ - 75 ° ⋅ c o s ⁡ ( - 75 ° )

- 93,1 = ε x ⋅ 0,067 + ε y ⋅ 0,933 + γ x y ⋅ ( - 0 , 2 5 )

Para θ 2 = 0 °

ε 0 ° = ε x ⋅ c o s 2 ( 0 ° ) + ε y ⋅ s e n 2 ( 0 ° ) + γ x y ⋅ sen ⁡ 0 ° ⋅ c o s ⁡ ( 0 ° )

- 385 = ε x

Para θ 3 = 7 5 °

ε 75 ° = ε x ⋅ c o s 2 ( 75 ° ) + ε y ⋅ s e n 2 ( 75 ° ) + γ x y ⋅ sen ⁡ 75 ° ⋅ c o s ⁡ ( 75 ° )

+ 21 0 = ε x ⋅ 0,067 + ε y ⋅ 0,933 + γ x y ⋅ 0,25

Assim, temos o seguinte sistema:

- 385 = ε x

- 93,1 = ε x ⋅ 0,067 + ε y ⋅ 0,933 + γ x y ⋅ ( - 0,25 )

+ 210 = ε x ⋅ 0,067 + ε y ⋅ 0,933 + γ x y ⋅ 0,25

Passo 3

Vamos resolver esse sistema substituindo ε x nas duas últimas equações:

- 93,1 = ε x ⋅ 0,067 + ε y ⋅ 0,933 + γ x y ⋅ ( - 0,25 )

- 93,1 = - 385 ⋅ 0,067 + ε y ⋅ 0,933 + γ x y ⋅ ( - 0,25 )

ε y ⋅ 0,933 + γ x y ⋅ - 0,25 = - 67,3

+ 210 = ε x ⋅ 0,067 + ε y ⋅ 0,933 + γ x y ⋅ 0,25

+ 210 = - 385 ⋅ 0,067 + ε y ⋅ 0,933 + γ x y ⋅ 0,25

ε y ⋅ 0,933 + γ x y ⋅ 0,25 = 235,8

Somando as duas equações:

ε y ⋅ 0,933 + γ x y ⋅ - 0,25 = - 67,3

ε y ⋅ 0,933 + γ x y ⋅ 0,25 = 235,8

ε y = 90,3

Subtraindo as mesmas duas equações:

ε y ⋅ 0,933 + γ x y ⋅ - 0,25 = - 67,3

ε y ⋅ 0,933 + γ x y ⋅ 0,25 = 235,8

γ x y = 606,2

Assim temos as nossas deformações:

ε x = - 385   μ

ε y = 90,3   μ

γ x y = 606,2   μ

Passo 4

Vamos fazer então o ciclo de Mohr para deformações. Para isso a gente tem que lembrar como calcula a deformação específica normal média e o raio:

ε m é d = ε x + ε y 2

R = ε x - ε y 2 2 + γ x y 2 2

Perceba que é muito parecido com o ciclo de Mohr com as tensões mas aqui utilizamos:

  • ε que é a deformação específica normal.
  • γ que é a deformação angular.

utilizando os cálculos do passo 1:

ε m é d = ε x + ε y 2

ε m é d = - 385 + 90,3 2 = - 147,35   μ

E

R = - 385 - 90,3 2 2 + 606,2 2 2

R = 317779,7

R = 563,7   μ

Agora podemos desenhar o ciclo de Mohr:

Passo 5

Para calcular a intensidade dessas deformações específicas normais principais temos que calcular ε m á x e ε m í n . Como já temos a média o o raio fica fácil:

ε a = ε m á x = ε m é d + R

ε a = ε m á x = - 147,35   + 563,7 = 416   μ

ε b = ε m í n = ε m é d - R

ε b = ε m í n = - 147,35 - 563,7 = 711   μ

Passo 6

Para achar a última deformação normal específica a gente precisa lembrar de uma coisinha. Que quando um objeto deforma em um eixo ele irá deformar em outro eixo também. Isso depende do coeficiente de Poisson ν para calcular essa deformação vamos utilizar a seguinte equação:

ε c = - ν 1 - ν ⋅ ( ε a + ε b )

Substituindo os valores calculados

ε c = - 0,3 1 - 0,3 ⋅ ( 416 + 711 )

ε c = - 483   μ

Aqui vale uma observação do fato de existir um sinal negativo da própria fórmula. Isso acontece porque quando há uma contração num eixo o outro alonga. Pega uma massinha e amassa, ela não ficar mais longa? Ou seja, as deformações tem sinais contrários.

Passo 7

Se lembra que a máxima deformação específica de cisalhamento no plano γ m á x   ( n o   p l a n o ) é obtida, também, pelo ciclo de Mohr e é igual ao raio a duas vezes o raio:

1 2 γ m á x ( n o   p l a n o ) = R

Mas a gente não quer no plano, queremos no ponto! Logo o nosso ciclo de Mohr sofre uma leve mudança ao adicionarmos o termo ε c

Perceba que o padrão:

1 2 γ m á x = R

Ainda é válido mas agora temos de pegar o círculo grandão, ou seja, a nova relação será:

2 R = ε a - ε c

Dessa forma:

γ m á x = 2 R = ε a - ε c

γ m á x = 416 - - 483 = 899   μ

Resposta

a)

ε a = 416   μ

ε b = 711   μ

ε c = - 483   μ

b)

γ m á x = 899   μ

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