Enunciado

A barra ACB é engastada aos suportes rígidos e está ausente de tensões a uma temperatura de 2 5 ° C . O aço é assumido elastoplástico com E = 200   G P a e σ e = 250   M P a . A temperatura de ambas as porções da barra é então elevada para 1 5 0 ° C . Sabendo-se que α = 11,7   x   10 - 6   ° c - 1 :

  1. A tensão em ambas as porções da barra;
  2. O deslocamento do ponto C.

Passo 1

O enunciado nós da os seguintes dados sobre o nosso problema

L A C = 150   m m

L B C = 250   m m

A A C = 500   m m 2

A B C = 300   m m 2

E B C = E A C = 200   G P a = 200000   M P a

t i = 25 ° C

t f = 150 ° C

∆ t = 150 - 25 = 125 ° C

σ e = 250   M P a

α = 11,7   .   10 - 6 1 ° C

Agora precisamos fazer duas coisas para resolver o nosso problema, que é definir a tensão residual do nosso problema, que é usar a equação de equilíbrio e usar a fórmula de compatibilidade, sendo assim teremos que:

  • Equação de equilíbrio
  • A equação de equilíbrio é dada por:

    Assim a fórmula será dada por:

    R A = R B

    Mas não conseguimos determinar os valores por essa fórmula, por isso temos que usar a nossa equação de compatibilidade, então o nosso primeiro passo é supor que o nosso problema seja elástico, e sabendo dessa informação, calculamos as tensões, e a que ultrapassar o valor usaremos como base para calcular a tensão residual, com isso vamos ter o seguinte:

  • Equação de compatibilidade

Sabemos que o somatório de deformações totais nesse trecho tem que ser zero. Com isso teremos que:

δ t o t a l = 0 = δ A C + δ B C + δ T ( A C ) + δ T ( B C )

δ A C = N A C L A C E A C A A C

δ B C = N B C L B C E B C A B C

δ T ( A C ) = L A C ∆ t α

δ T ( B C ) = L B C ∆ t α

0 = N A C L A C E A C A A C + N B C L B C E B C A B C + L A C ∆ t α + L B C ∆ t α

E sabemos que:

Substituindo teremos que:

( - R A ) 150 200000   .   500 + ( - R A ) 250 200000   .   300 + 150   .     125   .     11,7   . 10 - 6 + 250   .   125   . 11,7   . 10 - 6 = 0

( - R A ) 3   10 + ( - R A ) 5   6 = - 117000

( - R A ) 18   60 + ( - R A ) 50   60 = - 117000

R A = 103235   N = 103,24   k N

A tensão em ambas as barras seriam:

σ A C = N A C A A C = - 103,24 500 = - 0,2065   G P a = - 206,5   M P a

σ B C = N B C A B C = - 103,24 300 = - 0,3441   G P a = - 344,1   M P a

Como a tensão no trecho BC é superior a tensão admissível, a tensão real que deve agir nele é a tensão admissível, sendo assim teremos que:

σ B C = - 250   M P a

Agora pensa comigo, como a força no trecho AB e BC devem ser iguais, precisamos recalcular a tensão no trecho AC, sendo assim precisamos redefinir a força, com isso teremos que:

σ B C = N B C A B C

N B C = σ B C A B C = 250   .   300 = 75000   N = 75   k N

N B C = N A C = 75   k N

σ A C = 75 500 = 0,150   G P a = - 150   M P a

Negativo pois temos que lembrar que se trata de uma tensão de compressão, ou seja, negativa.

Passo 2

Para determinar a deformação basta escolhermos uma das barras e calcular as deformações relativas a ela, com isso podemos fazer o seguinte.

δ C = δ A c + δ T

δ C = σ A c L A C E + L A C ∆ t α = - 150   .   150 200000 + 150   .   125   .   11,7.10 - 6 = 0,1069   m m = 106,9   μ m

Resposta

  1. σ A C = - 150   M P a   e   σ B C = - 250   M P a
  2. δ C = 106,9   μ m
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