Enunciado

A barra cilíndrica maciça AB e o tubo CD são ambos unidos por um pequeno cilindro E. A barra cilíndrica AB é de aço, com G a = 77   G P a e τ a d m a = 84   M P a ; enquanto que o tubo CD é de latão, com G l = 39   G P a e τ a d m l = 48   M P a . Determinar o maior torque T que pode ser aplicado ao cilindro E.

Passo 1

Como toda questão de torção, a melhor forma de começar é calculando o momento de inércia.

Passo 2

Vamos fazer uma seção e separar o tubo da barra:

Como é uma situação estática, podemos afirmar que:

T = T A B + T C D

Mas ainda não temos todas as informações necessárias para calcular os torques. Então a gente tem que pensar em uma nova forma de relacionar os torques.

O tubo e a barra estão presos no ponto E. Isso quer dizer que tanto a barra quanto o tubo terão o mesmo ângulo de torção ϕ . A gente pode utilizar a equação do ângulo de torção para relacionar os torques.

Primeiro a gente monta as equações:

T o r ç ã o   n a   b a r r a   A B T o r ç ã o   n o   t u b o   C D ϕ A B = T A B L A B J A B G A B ϕ C D = T C D L C D J C D G C D

E a gente pode igualar:

ϕ A B = ϕ C D

T A B L A B J A B G A B = T C D L C D J C D G C D

Isolamos T A B :

T A B = T C D L C D J C D G C D ⋅ J A B G A B L A B

E aplicamos os valores:

T A B = T C D 200   m m 514976,8 π ⋅ 39 G P a ⋅ 65160,5 π ⋅ 77   G P a 300   m m

T A B = 0,167 ⋅ T C D

Passo 3

Agora temos o seguinte sistema:

T = T A B + T C D T A B = 0,167 ⋅ T C D

Vamos resolvemos T C D :

T = T A B + T C D

T = 0,167 ⋅ T C D + T C D

T C D = 0,857 ⋅ T

E resolvemos T A B

T A B = 0,167 ⋅ T C D

T A B = 0,143 ⋅ T

Passo 4

Show! Chegamos bem longe, mas inda não temos o valor de T

Mas não entre em pânico. A questão dá pra gente os valores de tensão admissível. Então vamos usá-las para calcular o T admissível.

Vamos calcular o torque admissível em cada material

A barra A B é feita de aço, então:

τ A B = τ a d m a

T A B c A B J A B = τ a d m a

E aplicamos os valores:

0,143   T ⋅ 38   m m 2 65160,5 π   m m 4 = 84   M P a

T = 2014,53   N m

Passo 5

A tubo CD é feita de latão, então:

τ C D = τ a d m l

T C D C C D J C D = τ a d m l

E aplicamos os valores:

0,867   T ⋅ 75   m m 2 514976,8 π   m m 4 = 48   M P a

T = 2388,52   N m

Passo 6

Conseguimos dois resultados: T = 2014,53   N m e T = 2388,52   N m .

Note que se T = 2388,52   N m o latão conseguirá resistir ao esforço, mas a barra de aço irá se romper.

Então a resposta deve ser:

T = 2014,53   N m

Resposta

T = 2014,53   N m

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