Enunciado

Para a barra composta do P r o b .   2.104 , determinar a tensão residual em cada porção da barra, se P cresce gradualmente desde zero até 1080   k N e então decresce até zero.

Passo 1

O enunciado nós da os seguintes dados sobre o nosso problema

L A C = 200   m m

L B C = 200   m m

A B C = A A C = 1935   m m 2

E B C = E A C = 200   G P a = 200000   M P a

σ A C = 250   M P a

σ B C = 350   M P a

P = 1080   k N

Agora precisamos fazer duas coisas para resolver o nosso problema, que é definir a tensão residual do nosso problema, que é usar a equação de equilíbrio e usar a fórmula de compatibilidade, sendo assim teremos que:

  • Equação de equilíbrio
  • A equação de equilíbrio é dada por:

    Assim a fórmula será dada por:

    P = R A + R B

    Mas não conseguimos determinar os valores por essa fórmula, por isso temos que usar a nossa equação de compatibilidade, então o nosso primeiro passo é supor que o nosso problema seja elástico, e sabendo dessa informação, calculamos as tensões, e a que ultrapassar o valor usaremos como base para calcular a tensão residual, com isso vamos ter o seguinte:

  • Equação de compatibilidade

Sabemos que o somatório de deformações totais nesse trecho tem que ser zero. Com isso teremos que:

δ t o t a l = 0 = δ A C + δ B C

δ A C = N A C L A C E A C A A C

δ B C = N B C L A B E B C A B C

0 = N A C L A C E A C A A C + N B C L A B E B C A B C

E sabemos que:

E A C = E B C = E

A A C = A B C = A

0 = N A C L A C E A + N B C L A B E A

N A C L A C = - N B C L A B

E sabemos que:

Substituindo os normais teremos que:

R A L A C = - ( R A - P ) L A B

R A L A C = - R A L A B + P L A B

R A L A C + R A L A B = P L A B

R A L A C + L A B = P L A B

L A C + L A B = L

R A L = P L A B

R A = P L A B L

Substituindo teremos que:

R A = 1080   .     200 400 = 540   k N

1080 = 540 + R B

R B = 540   k N

Definindo os normais teremos que:

N A C = R A = 540   k N

N B C = R A - P = 540 - 1080 = - 540   k N

Calculando a tensão teremos que:

σ A C = N A C A A C = 540 1935 = 0,279 k N m m 2 = 279   M P a

Sabemos que a máxima tensão que a barra AC suporta é de 250   M P a , como temos uma tensão de 279   M P a agindo, isso seria impossível, ou seja, temos deformações plásticas ocorrendo na nossa estrutura e a tensão que iremos considerar que de fato age na nossa barra é a máxima que ela suporta, ou seja, vamos definir essa tensão como a tensão real que será dada por:

σ r e a l = 250   M P a

E para a barra BC teremos que:

σ B C = N B C A B C = - 540 1935 = - 0,279 k N m m 2 = - 279   M P a

E para a barra BC, não teremos o mesmo problema, porque a sua tensão admissível é dada por 350   M P a , como a tensão que age é dada por - 279 , podemos manter ela como a tensão real que age na barra BC.

σ r e a l = - 279   M P a

E assim finalizamos o nosso passo 1.

Passo 2

Como sabemos quais são as tensões reais, e como sabemos que a barra AC vai ter deformações elásticas, podemos definir que a nova equação de compatibilidade (que continua tendo deformação total igual a zero) deverá ter uma parcela de deformação elástica que será dada por:

δ t o t a l = 0 = δ A C ( e l á s t i c a ) + δ A C ( p l á s t i c a ) + δ B C ( e l á s t i c a )

E aqui vai um macete legal para podermos facilitar as contas, sabemos que:

δ A C ( e l á s t i c a ) = N A C L A C E A C A A C

Mas precisamos da tensão para podermos substituir, com isso podemos fazer a seguinte conta:

δ A C ( e l á s t i c a ) = σ A C L A C E A C

E basicamente fizemos σ A C = N A C / A A C . Fazendo o mesmo com a outra barra teremos que:

δ B C ( e l á s t i c a ) = σ B C L B C E B C

Substituindo na fórmula teremos que:

0 = σ A C L A C E A C + δ A C ( p l á s t i c a ) + σ B C L B C E B C

Como o objetivo é determinar a deformação plástica temos que:

δ A C ( p l á s t i c a ) = - σ A C L A C E A C - σ B C L B C E B C

substituindo os valores teremos que:

δ A C ( p l á s t i c a ) = - 250 [ M P a ]   .     200 [ m m ] 200000   [ M P a ] - - 279 M P a .     200 [ m m ] 200000   M P a = 0,029 m m

E a tensão residual será calculada pelo seguinte cálculo:

δ A C ( p l á s t i c a ) = σ r e s i d u a l L A C E A C

σ r e s i d u a l = δ A C ( p l á s t i c a ) E A C L A C = 0,029 m m 200000   [ M P a ] 200   [ m m ] = 29   M P a

Assim a tensão residual será dada por:

σ r e s i d u a l = 29   M P a

Resposta

σ r e s i d u a l = 29   M P a

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Três barras do mesmo material e mesma área de seção transversal são usadas para suportar a força a P . Determine o esforço na barra B C .