Enunciado

4.118 - As duas forças mostradas são aplicadas a uma placa rígida, suportada por um tubo de aço de 160   m m de diâmetro externo e 130   m m de diâmetro interno. Sabendo-se que a tensão admissível compressiva é de 75 M P a , determinar a variação de valores admissíveis para P .

Passo 1

A primeira coisa que devemos fazer aqui é determinar os esforços internos na seção do tubo devido a aplicação das duas forças na placa.

Na seção, vamos ter a ação direta da força F de valor igual a P mais 200 k N :

F = P + 200   k N

E além dele, temos o momento fletor causados pelas forças aplicadas fora das laterias do tubo (o diâmetro externo te raio igual a 80   m m , e as forças são aplicadas a 90   m m do dentro de flexão):

M = 200 k ⋅ 90 m - P ⋅ 90 m

Onde m significa m i l i ( 10 - 3 ) e k é k i l o ( 10 3 ):

M = 18000 - 0,09 P

Descobertos esses valores, simbora para o passo 2!

Passo 2

Nesse passo, temos que buscar as informações que dependem da geometria do problema, como os valores da área da seção transversal e momento de inércia:

A área da seção vai ser a área desse círculo maior de raio 80   m m menos a área do círculo menor ( 65   m m de raio):

A = π 0,08 2 - π 0,065 2 =

A = 6,83 ⋅ 10 - 3  

Essa área está em m 2 , ok?

MOMENTO DE INÉRCIA:

Para o momento de inércia com relação ao eixo de simetria, devemos calcular o momento de inércia do círculo maior e depois subtrair pelo momento de inércia do círculo menor:

  • Círculo maior
  • I m a i o r = 1 4 π 0,08 4 =

    3,217 ⋅ 10 - 5

  • Círculo menor

I m e n o r = 1 4 π 0,0 65 4 =

1,402 ⋅ 10 - 5

Portanto o momento de Inércia de toda a seção será...

I = I m a i o r - I m e n o r   →

I = 1,815 ⋅ 10 - 5   m 4

Passo 3

Agora podemos buscar as tensões de compressão pela força P que gera uma distribuição uniforme de trações:

σ 0 = F A = P + 200   k N 6,83 ⋅ 10 - 3   →

σ 0 = 146,41 P + 29282576

Sabemos que o momento M , causa uma distribuição linear de tensões. Na compressão...

σ 1 = M C B I

Onde C B vale a distância de um dos lados extremos da seção até o centro neutro...

Portanto C B nada mais é do que o raio externo...

C B = 8 0   m m = 0,08   m

Então...

σ 1 = 18000 - 0,09 P ⋅ 0,0 8 1,815 ⋅ 10 - 5

σ 1 = 79338842 - 396,7 P

Passo 4

Agora vamos avaliar os casos possíveis já que sabemos que a maior tensão admissível é:

75 M P a

Então a máxima compressão possível é no extremo...

σ 0 + σ 1 = 146,41 P + 29282576   + 79338842 - 396,7 P →

σ 0 + σ 1 = - 250 P + 108621418   →

Como isso não pode ultrapassar 75   M p a ...

σ 0 + σ 1 = - 250 P + 108621418 = 75   M P a  

P = 13,95   k N

Ou, por ooutro lado, também pode não ter força nenhuma:

σ 0 + σ 1 = - 250 P + 108621418 = 0   →

434   k N

Gerando um limite então...

13,95   k N ≤ P ≤ 434   k N

Mas ainda podemos ter o caso...

σ 0 - σ 1 = 146,41 P + 29282576 - 79338842 + 396,7 P = 75   M P a   →

σ 0 - σ 1 = 543 P - 50 M P a = 75   M P a   →

P = 230   k N

Ou ainda...

σ 0 - σ 1 = 543 P - 50 M P a = 0   →

93   k P a

Nesse caso...

93   k N ≤ P ≤ 230   k N

Olhando as duas faixas que a gente obteve agora, a faixa admissível é...

13,95 ≤ P ≤ 230   k N

Resposta

13,95 ≤ P ≤ 230   k N

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