Enunciado

Para a barra composta indicada, determine o maior momento fletor admissível quando a barra é flexionada em torno do eixo vertical. Barra do problema 4.3 4 .

Passo 1

Quando temos mais de um material na nossa barra precisamos converter um deles para facilitar o nosso cálculo.

Sabemos que o nosso fator a ser calculado é dado por:

n = E p a r t e   t r a n s f o r m a d a   E p a r t e   i n t a c t a  

Vamos transformar então o alumínio em uma correspondente em latão.

n = E a l u m í n i o   E l a t ã o   = 70 105 = 0,667

E aqui temos um conceito novo, queremos fazer todos os cálculos ao redor do eixo vertical, certo? Mas todas as contas que aprendemos para eixos horizontais, certo? Então é muito simples, basta virar a seção e fazer os cálculos normalmente como já aprendemos, assim a nossa seção será usada da seguinte maneira:

para mudarmos a largura do alumínio (parte amarela e laranja) precisamos fazer a seguinte conta.

b ' = n b = 0,667   .   8 = 5,34   m m

Sendo assim a nova seção é dada por:

Nosso objetivo é determinar os momentos fletores, e a fórmula que relaciona a tensão com o momento é dado por:

σ x = - M y I

E se verificarmos a estrutura que foi transformada, teremos que usar a seguinte equação:

σ x = - n M y I

Agora já podemos determinar o momento de inércia.

Passo 2

Agora que temos a LN, podemos determinar o momento de inércia, e o momento de inércia vai ser dado pela seguinte equação:

I = I 1 + I 2 + I 3 + I 4 + ( A 1 d 1 2 + A 4 d 4 2 )

Em que as áreas já definimos no passo anterior, e os valores de I 1   , I 2 , I 3     e   I 4 são os momentos de inércia de cada uma das seções mais simples. E d 1   e   d 4 são as distâncias do centroide de cada uma das peças mais simples até a LN, assim as medidas da nossa seção são dadas abaixo.

Além disso temos que:

A 1 = 8 × 32 = 256   m m 2

A 4 = 8 × 32 = 256   m m 2

I 1 = I 4 = b h 3 12 = 32 × 8 3 12 = 1365,3   m m 4

I 2 = I 3 = b h 3 12 = 5,34 × 32 3 12 = 14581,8   m m 4

Assim a inercia da nossa seção vai ser dada por:

I = 1365,3 + 14581,8 + 1365,3 + 14581,8 + ( 256 × 20 2 + 256 × 20 2 )

I = 236694,2   m m 4

Agora só precisamos determinar os valores de y, sendo assim teremos que ver o próximo passo.

Passo 3

Tendo o valor de y precisamos usar a tensão, sendo assim teremos que:

  • y - positivo e negativo

Calculando primeiro o latão:

σ a d m = + 160   M P a = 160 N m m 2

y - - = - 24   m m

I = 236694,2   m m 4

σ x = - M y I

Substituindo, teremos que:

160 N m m 2 = - M   .   ( - 24 ) m m 236694,2   m m 4

M = 1577961   N m m = 1,5 78   k N m

E analisando agora o alumínio teremos que lembrar de acrescentar o fator de mudança   n :

σ a d m = 100 M P a = 100 N m m 2

y - - = - 16 m m

I = 236694,2   m m 4

σ x = - n M y I

Substituindo, teremos que:

- 100 N m m 2 = - 0,667 M   . ( - 16 ) m m 236694,2 m m 4

M = 2217899   N m m = 2,2 17   k N m

Como temos as tensões admissíveis, sabemos que ao momento que podemos aplicar será o menor dos que são dados acima, além dos mais, o maior momento dos dois irá romper a menor resistência, enquanto que o menor momento, garante a menor resistência e não afeta a maior, sendo assim teremos que:

M = 1,5 7 8   k N m

Resposta

M = 1,5 7 8   k N m

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