Enunciado

A barra A B de comprimento R gira em torno A com velocidade angular constante ω 1 no sentido horário. Ao mesmo tempo, a barra B D de comprimento r gira em torno de B com velocidade angular constante ω 2 no sentido anti-horário com relação da barra A B . Mostre que se ω 2 = 2 ω 1 , a aceleração do ponto D passa por meio do ponto A. Além disso, mostre que o resultado é independente de R , r e θ .

Passo 1

Bora pra questão 170 agora, meus caros (as)!

Bom! Temos que mostrar aqui que a aceleração do ponto D passa por meio do ponto A .

Pois muito bem! Antes de qualquer coisa, vamos a algumas convenções...

Primeiro o sentido de rotação... Normalmente costumamos chamar o sentido horário de negativo e o sentido anti-horário de positivo. E como no sentido de rotação, a gente geralmente usa o versor k ^ , então...

ω → 1 = - ω 1 k ^

ω → 2 = ω 2 k ^ = 2 ω 1 k ^

Agora, vamos dar uma olhada na barra A B ! Essa barra só executa rotação... Logo;

Ω → = ω → 1 = - ω 1 k ^

Continuando nosso raciocínio, bora fazer um esboço do nosso sistema destacando os vetores posição de nosso interesse...

Onde D ' é o ponto do plano de rotação da barra B D , que chamaremos de F !

E esse ponto coincide exatamente com o ponto D . Baseado na geometria, temos então, que...

r → D ' / A = R + r cos ⁡ θ i ^ + ( r sen ⁡ θ ) j ^

r → D / B = r cos ⁡ θ i ^ + ( r sen ⁡ θ ) j ^

Passo 2

Pronto! As informações mais importantes, já temos em mãos!

Se liga! A velocidade de D em relação ao plano de rotação, é dada por...

v → D / F = ω → 2 × r → D / B

v → D / F = ω 2 k ^ × [ r cos ⁡ θ i ^ + ( r sen ⁡ θ ) j ^ ]

Como ω 2 k ^ = 2 ω 1 k ^ ;

v → D / F = ω 2 k ^ × [ r cos ⁡ θ i ^ + ( r sen ⁡ θ ) j ^ ]

v → D / F = 2 ω 1 k ^ × [ r cos ⁡ θ i ^ + ( r sen ⁡ θ ) j ^ ]

v → D / F = 2 ω 1 r ( - sen ⁡ θ i ^ + cos ⁡ θ j ^ )

Presta atenção, agora! A aceleração no ponto D , como em geral nas questões desse capítulo, vem na seguinte forma...

a → D = a → D ' + a → D / F   + 2 Ω → × v → D / F  

Passo 3

Por isso, a nossa missão agora, é ir atrás desses três itens; a → D ' , a → D / F   e 2 Ω → × v → D / F   !

Primeiro, vamos obter 2 Ω → × v → D / F   :

2 Ω → × v → D / F   = 2 - ω 1 k ^ × [ 2 ω 1 r ( - sen ⁡ θ i ^ + cos ⁡ θ j ^ ) ]

2 Ω → × v → D / F   = 4 ω 1 2 r ( cos ⁡ θ i ^ + sen ⁡ θ j ^ )

Já a aceleração a → D ' é dada por...

a → D ' = - Ω 2 r D / A

a → D ' = - ω 1 2 r D / A

E por fim, falta obter a aceleração do ponto D em relação ao plano de rotação, é igual à...

a → D / F   = - ω 2 2 r → D / B

a → D / F   = - 2 ω 1 2 [ r cos ⁡ θ i ^ + ( r sen ⁡ θ ) j ^ ]

a → D / F   = - 4 ω 1 2 r [ cos ⁡ θ i ^ + ( sen ⁡ θ ) j ^ ]

Substituindo assim, os valores de cada variável, obtemos que...

a → D = a → D ' + a → D / F   + 2 Ω → × v → D / F  

a → D = - ω 1 2 r D / A - 4 ω 1 2 r [ cos ⁡ θ i ^ + ( sen ⁡ θ ) j ^ ] + 4 ω 1 2 r ( cos ⁡ θ i ^ + sen ⁡ θ j ^ )

a → D = - ω 1 2 r D / A

a → D = a → D '

E então, temos a prova de que a aceleração passa por meio de A ... Também não depende de R , r e θ ... Já que se ω 2 = - 2 ω 1 , o resultados é valido para todas as outras posições!

Resposta

a → D = a → D '

S e   ω 2 = - 2 ω 1 ,   o   r e s u l t a d o s   é   v a l i d o   p a r a   t o d a s   a s   o u t r a s   p o s i ç õ e s !

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