Enunciado

A barra prismática A B é constituída de uma liga de alumínio para a qual a curva de tensão-deformação específica em tração é mostrada na figura considerando que a curva de σ em função de ϵ é a mesma em compressão e em tração, determine,

  1. O raio de curvatura da barra quando a tensão máxima é de 250   M P a e.
  2. O valor correspondente do momento fletor. (sugestão: para a parte b , construa uma curva de σ em função de y e use um método aproximado de integração.)

Passo 1

O item a) é o mais tranquilo de todos, então vamos garantir ele, e depois vamos para o item b) que vamos ter um pouquinho mais de trabalho, mas nada muito absurdo.

Perceba que temos um diagrama que relaciona tensão com deformação especifica, e também temos uma equação que relaciona deformação especifica com o nosso raio de curvatura, e essa equação é dada por:

1 ρ = ϵ m y

O y é muito fácil, é metade da altura da nossa seção, ou seja, temos que:

y = 60 2 = 30 m m

O valor de ϵ m nós iremos tirar da nossa tabela, porque pensa só, sabemos que queremos o raio de curvatura para o caso de tensão sendo igual a 250   M P a , sendo assim, teremos que:

ϵ m = 0,0064

Substituindo na nossa equação, teremos que:

1 ρ = 0,0064 30   [ m m ]

ρ = 4687,5   m m = 4,69   m

Passo 2

Para o item b) queremos determinar os nossos momentos fletores, e relacionando o nosso momento com a nossa integral, teremos que:

M = - b ∫ - c c y σ x d y

Em que c é metade da altura da seção e b é a largura da nossa seção. Quando temos seções retangulares, podemos fazer a seguinte simplificação:

M = - 2 b ∫ 0 c y σ x d y

Podemos definir que:

ϵ = - ϵ m y c

Se definimos que

u = y c

Temos que:

ϵ = - ϵ m u

Podemos definir que:

- u c = y

Derivando dos dois lados temos que:

- c d u = d y

Substituindo teremos que (lembrar que para y a variação era de 0 até c , como estamos mudando para u , a variação vai passar a ser de 0 até 1:

M = 2 b ∫ 0 1 u c σ x c d u

M = 2 b c 2 ∫ 0 1 u σ x d u

M = 2 b c 2 J

Se definimos que:

J = ∫ 0 1 u σ x d u

Podemos fazer uma aproximação numérica para o método de integração, e para isso temos que tomar um certo cuidado, para o método numérico obteremos a seguinte equação:

J = ∆ u 3   ∑ w u σ x

E para isso faremos as seguintes premissas de cálculo:

  • O valor de u varia entre 0 e 1 e faremos isso em intervalos de 0,25   e m   0,25
  • Os valores de w são utilizados no seguinte sentido:
    • Para as extremidades w=1
    • Para as posições impares w=4
    • Para as posições pares w=2

Sabido isso, podemos montar a nossa seguinte tabela de cálculo.

Assim temos que:

J = 0,25 3 ×   1215 = 101,25   M p a = 101,25 N m m 2

Substituindo na nossa equação principal, teremos que:

M = 2 × 40 m m × 30 2 m m 2 × 101,25 N m m 2

M = 7290000   N m m = 7,29   k N m

Resposta

  1. ρ = 4,69   m
  2. M = 7,29   k N m
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