Enunciado

Uma barra de seção transversal quadrada, como indicado, é feita de um aço que é considerado ser elastoplástico com E = 200   G P a e σ e = 300   M P a . Determinar o momento fletor M , para que: (a) ocorra o início do escoamento; (b) as zonas plásticas, na parte superior e inferior, da barra tenham 12   m m de espessura.

Passo 1

(a) Antes de começar, vamos só fazer uma correçãozinha no enunciado. Ele diz que a barra é de seção quadrada, mas pela figura da questão a seção é retangular. Então vamos considerar essa seção retangular mesmo, tá bem?

O momento fletor no início do escoamento é dado pela fórmulinha:

M e = I c σ e

Como a seção da nossa peça é retangular de lado paralelo ao eixo de rotação com b = 30   m m = 0,0 3   m e altura h = 40   m m = 0,04   m . O momento de inércia fica:

I = b h 3 12 = 0,03 ⋅ 0,04 3 12 = 1,6 ⋅ 10 - 7 m 4

Já que a seção é simétrica, a maior distância c entre a linha neutra e um ponto da seção é:

c = 0,0 4 2 = 0,0 2   m

Sabendo que a tensão de escoamento é σ e = 300   M P a = 300 ⋅ 10 6   P a , já podemos usar nossa fórmulinha:

M e = I c σ e = 1,6 ⋅ 10 - 7 ⋅ 300 ⋅ 10 6 0,0 2

M e = 2400   N ⋅ m = 2,40   k N ⋅ m

Passo 2

(b) Queremos o momento para que as zonas plásticas na seção tenham o total de:

z p = 2 ⋅ 12 m m = 0,0 24   m  

Isso significa, que o núcleo elástico 2 y e deve ter:

2 y e = h - z p = 0,0 4 - 0,0 24 = 0,0 16   m

y e = 0,00 8   m

Com isso, podemos usar essa fórmulinha para descobrir o momento para esse valor de y e :

M = 3 2 M e 1 - 1 3 y e 2 c 2

Substituindo tudo o que a gente achou:

M = 3 2 ⋅ 2400 ⋅ 1 - 1 3 0,00 8 2 0,0 2 2

M = 3,41   k N ⋅ m

Resposta

(a) M = 2,40   k N ⋅ m

(b) M = 3,41   k N ⋅ m

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