Enunciado

A barra semicircular uniforme de massa m e raio r é livremente articulada em torno de um eixo horizontal através de A . Se a barra é liberada a partir do repouso na posição mostrada, onde A B é horizontal, determine a aceleração angular inicial α da barra e a expressão para a força exercida sobre a barra pelo pino em A . (Observe atentamente que a aceleração tangeencial inicial do centro de massa não é vertical).

Passo 1

Para encontrar a aceleração angular, primeiro precisamos do momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo ponto A , perpendicular ao plano da página.

Para isso vamos usar o teorema dos eixos paralelos:

I A = I c m + m d 2

Onde I c m é o momento de inércia em relação a um eixo (também perpendicular ao plano da página) que passa pelo centro de massa do anel. Consultando uma tabela encontramos o seguinte:

I A = m r 2 + m d 2

Onde d = r , então:

I A = 2 m r 2

E agora podemos escrever a seguinte relação para encontrar a aceleração angular:

∑ M A = I A α

E o único momento em relação ao ponto A vem da força P = m g , que está a uma distância perpendicular r do ponto A :

m g r = I A α

m g r = 2 m r 2 α

α = g 2 r

Passo 2

Agora queremos calcular a força exercida sobre a barra pelo pino em A . É uma boa ideia dividir essa força em duas componentes, uma normal e uma tangencial:

Onde b e r c m são distâncias que podemos calcular depois. Vamos aplicar a segunda lei de Newton nas duas direções, sempre pensando no centro de massa do sistema.

Na direção normal a aceleração do centro de massa é nula, então:

∑ F n = m a n = 0

E as forças que atuam nessa direção são A n , e uma componente do peso:

∑ F n = A n - m g sen ⁡ θ = 0

A n = m g sen ⁡ θ

Na direção tantencial, a aceleração do centro de massa pode ser calculada a partir da aceleração angular e da distância r c m até o ponto A :

a t = α r c m

∑ F t = m α r c m

E as forças que atuam nessa direção são A t e a outra componente da força peso:

m g cos ⁡ θ - A t = m α r c m

A t = m g cos ⁡ θ - r c m 2 r

Passo 3

Agora vamos encontrar expressões para r c m , b e θ , para então substituí-las nas expressões de A t e A n .

Podemos consultar uma tabela para encontrar b , que é a posição do centro de massa em relação ao eixo do desenho:

b = 2 r π

E ainda pelo desenho, podemos usar o teorema de pitágoras para calcular r c m :

r c m 2 = b 2 + r 2 = 4 r 2 π 2 + r 2

r c m = r   4 π 2 + 1  

E por fim, podemos calcular θ através do seu seno e cosseno:

sen ⁡ θ = b r c m

cos ⁡ θ = r r c m

Passo 4

Agora vamos substituir tudo e encontrar a expressão para A :

A n = m g sen ⁡ θ = m g b r c m

A t = m g cos ⁡ θ - r c m 2 r = m g r r c m - r c m 2 r

Então:

A 2 = A n 2 + A t 2

A 2 = m g 2 b 2 r c m 2 + r 2 r c m 2 - 2 r r c m 2 r r c m + r c m 2 4 r 2

A = m g 4 π 2 r 2 r c m 2 + r 2 r c m 2 - 1 + r c m 2 4 r 2

A = m g r 2 r c m 2 1 + 4 π 2 - 1 + r c m 2 4 r 2

E agora substituímos a expressão para r c m no primeiro termo da raiz, de forma que a fração fica igual a 1 , e então:

A = m g 1 - 1 + r c m 2 4 r 2 = m g r c m 2 r

E finalmente:

A = m g 2 4 π 2 + 1  

A = 0,593   m g

Resposta

A aceleração angular inicial é α = g / 2 r , e a força exercida sobre a barra pelo pino é A = 0,593   m g .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Uma barra delgada uniforme AB de massa m está suspensa como mostra a figura a partir de um disco uniforme de mesma massa m. Determine as acelerações nos pontos A e B imediatamente após a força horizon
No instante mostrado na figura, um poste ABC uniforme de 50 kg, comprimento de 6 m, tem uma velocidade angular de 1 rad/s no sentido anti-horário e o ponto C está deslizando para a direita. Uma força
O cilindro B de 3 kg e a cunha A de 2 kg são mantidos em repouso na posição mostrada na figura pela corda C. Considerando que os cilindros rolam sem deslizar sobre a cunha e desprezando o atrito entre
Uma barra delgada AB de 5 kg é conectada por pino em um disco uniforme de 8 kg como mostrado na figura. Imediatamente após o sistema ser liberado do repouso, determine a aceleração do (a) ponto A, (b)
(a) Determine a intensidade e a localização do momento fletor máximo na haste do Problema 16.76. (b) Mostre que a resposta para a parte a é independente da massa da haste.