Enunciado

A barra tem diâmetro de 40   mm . Se for submetida a uma força de 800   N , como mostra a figura, determine as componentes da tensão que agem no ponto A e mostre os resultados em um elemento de volume localizado nesse ponto.

Passo 1

Uma barra engastada a uma parede sofre um carregamento de F = 800   N na extremidade livre.

A barra tem diâmetro d = 40   mm .

Queremos saber como ficam as tensões em um ponto A que está a 200   mm da extremidade livre.

Vamos achar primeiro as forças e momentos internos na seção transversal que passam por A . Aí podemos calcular as tensões e desenhar o elemento de volume nesse ponto.

Passo 2

Vamos ver como ficam as forças. Diagrama de corpo livre:

As componentes do carregamento F = 800 são:

F z = F ⋅ cos ⁡ 30 ° = 0,693   kN

F y = F ⋅ sin ⁡ 30 ° = 0,400   kN

Checando cada equilíbrio, podemos saber como fica a força interna ( F A z   e   F A y ) e o momento interno ( M A ) na seção que passa em A .

∑ F z = 0       →         F A z = F z = 0,693   kN

∑ F y = 0       →         F A y = F y = 0,400   kN

∑ M A = 0       →         M A = 200   mm ⋅ F z = 138,6  Nm

Tranquilo! Agora vamos pensar qual o efeito que cada esforço faz na seção.

  • A força F A y causa tração:
  • σ = F A

  • A força F A z causa cisalhamento na direção positiva:
  • τ = V Q I t

  • O momento M A causa flexão, que vai gerar tração em z > 0 e compressão em z < 0 . Mas o ponto A está localizado exatamente no eixo neutro para o momento M A !

σ = M c I

c = 0       →         σ M A   = 0

Então temos todas as fórmulas para usar. Vamos calcular com calma cada propriedade dessa seção pro ponto A e aí voltamos pra fechar as contas!

Passo 3

Área da seção (círculo):

A = π d 2 4 = 1256,64   mm 2

Segundo momento de área (círculo, em relação ao eixo neutro):

I = I x = π d 4 64 = 125663,71   mm 4

A espessura t que estamos interessados é o comprimento da linha que passa pelo ponto A e é paralela ao eixo neutro. Nesse caso aqui, vai ser o diâmetro:

t = 40   mm

O primeiro momento de inércia Q se refere à área A ' acima da linha em que o ponto A está. Nesse caso, um semicírculo de raio r = d / 2 = 20   mm ! A gente acha Q usando a posição y - ' do centroide dessa área A ' :

Q = y - ' A ' = 4 r 3 π ⋅ π r 2 2 = 5333,33   mm 3

Show! Finalmente vamos calcular as tensões!

Passo 4

Vejamos uma direção de cada vez.

Na direção x não temos tensões nesse problema.

Na direção y , temos:

σ = F A       →         σ y = 0,400   kN 1256,64   mm 2 = 0,318   MPa

E σ y causa tração no ponto A !

Agora para a direção z :

τ = V Q I t       →         τ z = 0,693   kN ⋅ 5333,33   mm 3 125663,71   mm 4 ⋅ 40   mm = 0,735   MPa

E τ z causa cisalhamento na direção positiva (para cima!) para o ponto A !

Passo 5

Só falta desenhar. Confira bem qual é a seção que você está tratando (Passo 2 ), e trace as tensões pro ponto A pelo o que você descobriu no Passo 4 . Aí é só fazer as outras setas pensando no equilíbrio!

A seta vermelha atua no plano da seção considerada.

Resposta

Tração no ponto A :

σ y = 0,318   MPa

Cisalhamento transversal no ponto A , direção positiva ( z ) :

τ z = 0,735   MPa

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