Enunciado

Um binário M de intensidade 100   N ⋅ M é aplicado, tal como mostra a figura, à manivela de um sistema motor. Sabendo que A B = 50   m m e B C = 200   m m , determine a força P necessária para se manter o equilíbrio do sistema, quando (a) θ = 60 ° , (b) θ = 120 ° .

Passo 1

Primeiro, vamos fazer uma lei dos senos, depois de analisar a geometria do problema!

s e n   ϕ A B = s e n   θ B C

s e n   ϕ = A B B C s e n   θ

Passo 2

Vamos agora definir os parâmetros para o trabalho virtual! Sendo x c a base (CA), temos que:

x c = A B   c o s θ + B C c o s   ϕ

d x c = - A B   s i n θ d θ - B C s e n   ϕ d ϕ

Da equação do passo 1, temos que:

c o s ϕ d ϕ = A B B C c o s θ d θ

Ou

d ϕ = A B B C c o s θ cos ⁡ ϕ d θ

Da equação derivada da base:

d x c = - A B   s i n θ d θ - B C s e n   ϕ A B B C c o s θ cos ⁡ ϕ d θ

Ou

d x c = - A B c o s ϕ s e n θ c o s ϕ + s e n ϕ c o s θ d θ

Logo,

d x c = - A B s e n θ + ϕ c o s ϕ d θ

Passo 3

Legal galera, achamos os termos do trabalho virtual em função dos ângulos! Vamos aplicar a formula do trabalho virtual!

d U = 0

- P x c - M d θ = 0

- P - A B s e n θ + ϕ c o s ϕ d θ - M d θ = 0

Portanto,

M = A B s e n ( θ + ϕ ) cos ⁡ ϕ P

Passo 4

Agora basta aplicarmos os valores de cada alternativa e acabamos com a questão!

  1. M = 100   N ⋅ m , θ = 60 °

s e n   ϕ = 50 m m 200 m m s e n   60 °

ϕ = 12.504 °

100 = 0.05 s e n ( 60 + 12.504 ) cos ⁡ 12.504 P

P = 2047 N

b M = 100   N ⋅ m , θ = 12 0 °

s e n   ϕ = 50 m m 200 m m s e n   12 0 °

ϕ = 12.504 °

100 = 0.05 s e n ( 12 0 + 12.504 ) cos ⁡ 12.504 P

P = 2 649 N

Resposta

( a ) P = 2047 N

( b ) P = 2649 N

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