Enunciado

Um bloco C de 11,5   k g move-se horizontalmente com uma velocidade v 0 até chocar-se com a coluna A B , como mostrado. Usando E = 200   G P a , determinar a maior velocidade v 0 , para que a tensão normal máxima na coluna não exceda a 125   M P a .

Passo 1

Oi, galera! Tudo bem? Vamos fazer uma questão de carregamento produzido por impacto? Você vai ver que consegue mandar muito em resistência dos materiais! Então bora!

A questão quer saber qual é a máxima velocidade v 0 do bloco C que faz a barra A B se deformar sem ultrapassar a tensão máxima σ m = 125   M P a . A figura abaixo mostra os dados.

P m é a máxima força que o bloco C faz na coluna A B sem que ela se deforme permanentemente. y m é a deformação que o choque do bloco causa e m é a massa do bloco.

A velocidade máxima v 0 do bloco é uma velocidade que produz a máxima energia cinética U m que a coluna é capaz de absorver.

U m = m v 0 2 2       ⟹       v 0 = 2 U m m

No entanto, para calcular v 0 precisamos achar a máxima energia U m que a coluna é capaz de absorver. Calculamos esse valor através de uma equação que relaciona a deformação y m e a força P m à energia U m .

U m = P m y m 2

onde P m será calculado através do diagrama de corpo livre da barra e y m será obtido usando uma equação de deflexão do apêndice D .

Passo 2

Vamos começar os cálculos determinando quanto vale P m . No entanto, para usarmos o diagrama de corpo livre, temos que determinar primeiro o valor do momento máximo M m que a coluna A B suporta. Para isso, vamos utilizar a equação de tensão máxima normal de uma barra em flexão.

σ m = M m c I       ⟹       M m = σ m I c

onde I é o momento de inércia do perfil da barra e c é distância entre o centro da barra e o ponto de maior tensão da barra. I e c são obtidos através das informações do apêndice C para um perfil W 130 X 23,8.

I = 8,87 × 10 6   m m 4

c = d 2       ⟹       c = 127 2       ⟹       c = 63,5   m m

Antes de substituir os dados nas fórmulas temos que converter I de m m 4 pra m 4 , c de m m pra m e σ m de M P a pra P a . Fazemos isso, multiplicando I por 10 - 12 , c por 10 - 3 e σ m por 10 6 .

M m = σ m I c         ⟹       M m = 125 × 10 6 × 8,87 × 10 6 × 10 - 12 63,5 × 10 - 3       ⟹       M m = 17460 , 6   N × m

Agora sim podemos achar o valor de P m através do diagrama de corpo livre da barra.

Faremos isso no próximo passo!

Passo 3

Nesse diagrama, vemos que o momento máximo M m é o momento que a barra sofre no seu engastamento. faremos o equilíbrio de momento da barra no ponto A que é o ponto onde a coluna está engastada.

Como consideramos na figura que o momento M m faz a coluna girar em um sentido horário em torno do ponto A , esse momento ganha um sinal de menos na frente.

O equilíbrio de momentos diz que a soma dos momentos é zero. Logo:

M P - M m = 0       ⟹       P m × L - M m = 0       ⟹       P m = M m L

Substituindo os valores de M m e L , achamos P m .

P m = M m L       ⟹       P m = 17460 , 6 2,25       ⟹       P m = 7760,3   N

Agora podemos achar y m e U m !

Passo 4

Para calcular a máxima deflexão y m da coluna, usaremos a equação do apêndice D de flecha máxima para o primeiro tipo de viga e carregamento.

y m = P m L 3 3 E I

Para usar essa equação, temos que nos lembrar de converter o módulo de elasticidade E de G P a para P a , multiplicando E por 10 9 .

y m = P m L 3 3 E I       ⟹       y m = 7760,3 × 2,25 3 3 × 200 × 10 9 × 8,87 × 10 - 6       ⟹       y m = 0,01661   m

Substituindo y m e P m na equação de U m , achamos.

U m = P m y m 2       ⟹       U m = 7760,3 × 0,01661 2       ⟹       U m = 64,45   J

Passo 5

Agora sim somos capazes de achar a velocidade v 0 máxima do bloco, substituindo U m na equação de v 0 .

v 0 = 2 U m m       ⟹       v 0 = 2 × 64,45 11,5       ⟹       v 0 = 3,35   m / s

Boooooaaaaa! Missão cumprida! Achamos o que a questão pede!

Resposta

v 0 = 3 , 35   m / s

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