Enunciado

O bloco D de 20   k g é abandonado de uma altura h = 180   m m , acima da viga de aço A B . sabendo-se que E = 200   G P a , determinar:

  1. a máxima deflexão no ponto E ;
  2. a máxima tensão na viga.

Passo 1

Oieee, gente! Tudo caminhando na vida? Vamos fazer uma questão de carregamento produzido por impacto para encaminhar um 10 na prova?

A questão quer saber DUAS informações:

  1. A máxima deflexão no ponto E y E . Ela é a deformação provocada na barra as com o choque choque do bloco. Calculamos y E através da energia U m que a barra absorve no impacto. A energia U m é calculada pela equação abaixo que depende de y m .
  2. U m = P m y E 2

    onde P m é a força que provoca na barra as mesmas tensões produzidas pelo choque. Além disso, a energia U m que a barra absorve é igual à energia potencial transferida do bloco D para a barra no momento do choque.

    U m = m g h + y E

    Igualando essas duas equações e encontrando uma equação para P m em função de y E no apêndice D , conseguimos achar y E .

  3. Para encontrar a maior tensão σ m na viga, temos que encontrar o maior momento M m na viga através do quilíbrio de momentos. Com esse termos, aplicamos a equação da tensão máxima de barras em flexão presente abaixo e achamos σ m .

σ m = M m c I

Os dados que temos para achar σ m e y E se encontram na figura abaixo.

R A e R B são as reações causadas pelas restrições presentes nos pontos A e B respectivamente. d e b f são a altura e a largura do perfil da viga respectivamente.

Após entender tudo isso, podemos calcular y E no próximo passo.

Passo 2

A primeira etapa para encontrar y E é igualar as duas equações de U m .

m g h + y E = P m y E 2

A segunda etapa é deduzir uma fórmula de P m em função de y E a partir da equação de y E presente no apêndice D .

y E = P m a 2 b 2 3 E I L       ⟹       P m = 3 E I L y E a 2 b 2

Substituindo essa fórmula de P m na equação anterior, achamos:

m g h + y E = P m y E 2       ⟹       m g h + y E = 3 E I L y E a 2 b 2 y E 2       ⟹       3 E I L 2 a 2 b 2 y E 2 - m g y E - m g h = 0

A equação acima, mostra que para achar y E , precisamos achar a raiz positiva do polinômio do segundo grau através da fórmula de Bhaskara. No entanto, para achar a raiz, precisamos achar os valores numéricos dos coeficientes do polinômio. Para isso, precisamos descobrir quanto vale o momento de inércia I do perfil S 130 X 15 no apêndice C .

I = 5,12 × 10 6   m m 4       ⟹       I = 5,12 × 10 - 6   m 4

Antes de substituir os dados na equação, precisamos converter E de G P a pra P a multiplicando E por 10 9 e converter h de m m pra m multiplicando h por 10 - 3 .

3 E I L 2 a 2 b 2 y E 2 - m g y E - m g h = 0

3 × 200 × 10 9 × 5,12 × 10 - 6 × 1,8 2 × 0,6 2 × 1,2 2 y E 2 - 20 × 9,81 × y E - 20 × 9,81 × 180 × 10 - 3 = 0

5333333   y E 2 - 196 , 2   y E - 35 , 316 = 0

Pelo polinômio acima nós vemos que os coeficientes dele são:

a = 5333333 b = - 196 , 2 c = - 35 , 316

Sabendo disso, somos capazes de calcular y E por Bhaskara.

y E = - b + b 2 - 4 a c 2 a       ⟹       y E = - - 196 , 2 + - 196 , 2 2 - 4 × 5333333 × - 35 , 316 2 × 5333333

y E = 0 , 00259   m

Ebaaaa! Suamos, mas conseguimos resolver a letra (a) da questão! Vamos partir pra letra (b) agora!

Passo 3

Para achar a tensão σ m , temos que achar P m primeiro. Essa força é encontrada, substituindo o valor de y E na fórmula de P m deduzida a partir das informações extraídas no apêndice D .

P m = 3 E I L y E a 2 b 2   ⟹   P m = 3 × 200 × 10 9 × 5,12 × 10 - 6 × 1,8 × 0 , 00259 2 × 0,6 2 × 1,2 2   ⟹   P m = 13813   N

Agora, temos que achar o valor da reação R A . Isso é feito, fazendo o equilíbrio de momentos da viga no ponto B . Escolhemos o ponto B , porque a força R B não tem braço de alavanca nele. Logo, o momento de R B em B vale zero e somos capazes de obter R A sem precisar obter R B .

Fazer o equilíbrio de momento em relação ao ponto B é a mesma coisa que dizer que a soma dos momentos em relação a B vale zero.

Para fazer esse equilíbrio e achar R A , temos que ter atenção nos sinais do momento! Como o momento M A tende a girar a viga no sentido horário, temos que colocar um sinal de menos na frente dele!

- M A + M P = 0       ⟹       - R A L + P m b = 0       ⟹       R A = P m b L

R A = 13813 × 1,2 1,8       ⟹       R A = 9209   N

Essa é a primeira etapa para achar σ m . Vamos deixar a última etapa para o próximo passo!

Passo 4

Para achar a máxima tensão σ m na viga, precisamos calcular o máximo momento fletor M m que carsa essa máxima tensão σ m . O ponto onde o momento fletor é máximo é justamente no ponto de aplicação da força P m (ponto E ). Para encontrar o valor de M m , dividimos a viga em duas e fazemos o equilíbrio de momento da parte esquerda da viga em relação ao ponto E .

Novamente, temos que lembrar que, como o momento M A tende a girar a viga no sentido horário, temos que colocar um sinal de menos na frente dele!

- M A + M m = 0       ⟹       - R A a + M m = 0       ⟹       M m = R A a

M m = 9209 × 0,6       ⟹       M m = 5525 , 4   N × m

Antes de substituir M m na equação de σ m , temos que achar a distância c entre o ponto de maior tensão no perfil da viga e o centro da viga. c é igual à metade da altura d do perfil da viga. d é encontrado no apêndice C .

c = d 2       ⟹       c = 127 2       ⟹       c = 63 , 5   m m       ⟹       c = 0,0635   m

Substituindo os dados na equação de σ m , achamos:

σ m = M m c I       ⟹       σ m = 5525 , 4 × 0,0635 5,12 × 10 - 6       ⟹       σ m = 68,53 × 10 6   P a

Pronto! A letra (b) da questão também está feita!

Resposta

a   y E = 0 , 00259   m

b   σ m = 68,53 × 10 6   P a

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