Enunciado

Resolver o Prob. 10.62, assumindo-se que ambas as porções da barra A B C são feitas de bronze.

Passo 1

Fala, meus/minhas queridos/ queridas! Vamos exercitar nossos conhecimentos de resistência dos materiais fazendo uma questão de carregamento produzido por impacto?

Essa questão é igualzinha a questão 10.62 anterior. A única diferença é que, nessa questão, as barras A B e B C são feitas de bronze e tem seus módulos de elasticidade E A B e E B C iguais a:

E A B = E B C = 105   G P a

A questão quer primeiro que a gente calcule a máxima deflexão x m que a barra pode ter sem danificar as barras A B e B C . Para elas não serem danificadas com essa deformação, a energia U que elas recebem com o impacto deve ser igual a máxima energia de deformação U m que as barras podem aguentar juntas!

U = U m

U m é a soma da energia U A B que a barra A B absorve ao ser carregada com a máxima força possível P m com a energia U B C que a barra B C absorve ao ser carregada com a máxima força possível P m . U A B e U B C são calculadas com a mesma equação 10.14 do livro.

U m = U A B + U B C       ⟹       U m = P m 2 L A B 2 A A B E A B + P m 2 L B C 2 A B C E B C

onde L A B e L B C são os comprimentos das barras A B e B C respectivamente e A A B e A B C são as áreas das seções transversais das barras A B e B C respectivamente.

A energia U que as barras absorvem com o impacto é a energia potencial E P que o bloco D tem antes de cair de uma altura igual a h = 425 m m h = 0,425   m .

U = m g h

onde m é a massa do colar e g é a aceleração da gravidade g = 9,81   m / s 2 .

Substituindo U na equação de U m , encontramos P m . Encontramos x m a partir da equação 10.3

do livro que calcula U m .

U m = P m x m 2       ⟹       x m = 2 U m P m

Por fim, o enunciado quer que a gente calcule a máxima tensão σ m que ocorre na barra B C . Para calcular isso, basta dividir a máxima força P m pela área A B C da barra!

A figura abaixo mostra os dados que temos para achar a deformação x m , a carga estática P m e a máxima tensão σ m da barra B C .

Com todas essas informações em mãos, vamos começar as contas.

Passo 2

Iniciamos os cálculos, pela letra (b) da questão. Vamos calcular primeiro o valor da carga estática equivalente P m da barra. Fazemos essa inversão, porque, para calcular o x m da letra (a) é necessário calcular P m da letra (b).

Para calcular P m temos que calcular U .

U = m g h       ⟹       U = 9 × 9,81 × 0,425       ⟹       U = 37,52325   J

Substituindo U m por esse valor de U , achamos P m .

No entanto, antes disso precisamos converter E A B e E B C de G P a para P a . Fazemos isso, multiplicando esses dois termos por 10 9 .

Além disso, temos que calcular o valor das áreas A A B e A B C .

A A B = π d A B 2 4   ⟹   A A B = π × 15 2 4   ⟹   A A B = 1590,43   m m 2   ⟹   A A B = 176,71 × 10 - 6   m 2

A B C = π d B C 2 4     ⟹   A B C = π × 12 2 4     ⟹   A B C = 962,11   m m 2   ⟹   A B C = 113,10 × 10 - 6   m 2

Agora sim somos capazes de achar P m , substituindo os dados na equação de U m .

U m = P m 2 L A B 2 A A B E A B + P m 2 L B C 2 A B C E B C

37,52325 = P m 2 × 4,2 2 × 176,71 × 10 - 6 × 105 × 10 9 + P m 2 × 3 2 × 113,10 × 10 - 6 × 105 × 10 9

37,52325 = 2 , 39490257 × 10 - 7 × P m 2

P m = 12517,2   N

Aeeee! Resolvemos a letra (b). Agora somos capazes de achar o x m que a letra (a) pede.

Passo 3

Achamos x m substituindo U m e P m na última equação oque aparece no passo 1.

x m = 2 U m P m       ⟹       x m = 2 × 37,52325 12517,2       ⟹       x m = 0 , 005995   m

Essa letra (a) foi rápida, né?

Então bora partir logo para a letra (c)!

Passo 4

Como dito no passo 1, calculamos a máxima tensão σ m que ocorre na barra B C , dividindo a máxima força P m pela área A B C da barra!

σ m = P m A B C       ⟹       σ m = 12517,2 113,10 × 10 - 6       ⟹       σ m = 110673740   P a

Dividindo esse valor em P a por 10 6 , achamos o valor de σ m em M P a .

σ m = 110 , 67   M P a

Uhuuuul! Achamos todas as respostas que a questão pedia!

Resposta

a   x m = 0 , 005995   m

b   P m = 12517,2   N

c   σ m = 110 , 67   M P a

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