Enunciado

O bloco D é abandonado da posição mostrada, sobre a extremidade de uma barra de aço quadrada, de 16   m m de lado. Sabendo-se que E = 200   G P a , determinar na barra:

  1. a máxima deflexão em sua extremidade livre;
  2. o máximo momento fletor;
  3. a máxima tensão normal.

Passo 1

Como estão, lind@s? Bora resolver uma questão de carregamento produzido por impacto para diminuir as dúvidas sobre esse tópico?

A questão quer saber três informações:

  1. A máxima deflexão no ponto B y m . Ela é a deformação provocada na barra as com o choque choque do bloco. Calculamos y m através da energia U m que a barra absorve no impacto. A energia U m é calculada pela equação abaixo que depende de y m .
  2. U m = P m y m 2

    onde P m é a força que provoca na barra as mesmas tensões produzidas pelo choque. Além disso, a energia U m que a barra absorve é igual à energia potencial transferida do bloco D para a barra no momento do choque.

    U m = m g h + y m

    Igualando essas duas equações e encontrando uma equação para P m em função de y m , conseguimos achar y m .

  3. O máximo momento fletor M m é encontrado através do equilíbrio de momentos da viga.
  4. Para encontrar a maior tensão σ m na viga, aplicamos a equação da tensão máxima de barras em flexão presente abaixo.

σ m = M m c I

As barrinhas que cerca o M m é o módulo. Ela significa que usaremos apenas o valor de M m sem seu sinal. Ou seja, se M m for negativo, desprezaremos o sinal de menos e levaremos em conta apenas o seu valor.

Os dados que temos para achar σ m , M m e y m se encontram na figura abaixo.

R A e R B são as reações causadas pelas restrições presentes nos pontos A e B respectivamente. d e b f são a altura e a largura do perfil da viga respectivamente.

Após entender tudo isso, podemos calcular y m no próximo passo.

Passo 2

A primeira etapa para encontrar y m é igualar as duas equações de U m .

m g h + y m = P m y m 2

Com essa equação, podemos ver bem que precisamos achar uma fórmula de P m em função de y m para conseguir calcular y m .

Só podemos achar essa equação de P m , calculando a energia de deformação U m que a viga é capaz de absorver através da integral abaixo.

U m = ∫ 0 a + L M 2 2 E I d x

onde M é o momento fletor ao longo da viga.

Ou seja, para achar essa equação de P m em função de y m , temos que saber como M varia ao longo da barra. A primeira etapa para fazer isso é encontrar a reação R B fazendo o equilíbrio de momentos em relação ao ponto A .

Como a força P m faz a barra tender a girar no sentido horário, vamos colocar um sinal de menos na frente do momento de P m .

M R B - M P = 0       ⟹       R B L - P m a + L = 0       ⟹       R B = P m a + L L

Agora estamos aptos a achar M ! Para achar M precisamos usar a equação de equilíbrio de momento na parte direita da barra A B . Calcularemos o equilíbrio no ponto x . O momento M tem dois valores: um quando a parte direita da barra ainda não inclui a força R B e outro quando a parte direita inclui a força R B . Vamos começar o cálculo do primeiro valor de M .

Colocamos um sinal de menos na frente dos momentos M e M P , porque os dois fazem a viga girar no sentido horário.

- M P - M = 0       ⟹       - P m x - M = 0       ⟹       M = - P m x

Agora vamos calcular o segundo valor de M .

- M P + M R B - M = 0     ⟹   - P m x + R B x - a - M = 0

- P m x + P m a + L L x - a - M = 0       ⟹       M = P m a L x - a - L

Com esses valores de M , podemos achar U m a partir da integral para encontar P m em função de y m !

Passo 3

M tem dois valores. Um quando x vale entre 0 e a e outro, quando x vale entre a e a + L .

S e   0 ≤ x < a       ⟹       M = - P m x

S e   a < x ≤ a + L       ⟹       M = P m a L x - a - L

Por isso, para substituir M na integral que calcula U m , precisamos separar a integral em duas. Uma que vai de 0 a a para o primeiro valor de M e outra que vai de a a a + L para o segundo valor de M .

U m = ∫ 0 a + L M 2 2 E I d x       ⟹       U m = ∫ 0 a M 2 2 E I d x + ∫ a a + L M 2 2 E I d x

Substituindo os valores de M nas integrais corretas, achamos:

U = ∫ 0 a - P m x 2 2 E I d x + ∫ a a + L P m a L x - a - L 2 2 E I d x

Colocando as constantes para fora da integral, achamos:

U m = P m 2 2 E I ∫ 0 a x 2   d x + P m 2 a 2 L 2 2 E I ∫ a a + L x - a - L 2   d x

U m = P m 2 2 E I x 3 3 0 a + P m 2 a 2 L 2 2 E I x - a - L 3 3 a a + L

U m = P m 2 2 E I a 3 3   + P m 2 a 2 L 2 2 E I L 3 3       ⟹     U m = P m 2 6 E I a 3   + P m 2 a 2 6 E I L     ⟹       U m = P m 2 a 2 6 E I a + L

Substituindo essa equação de U m na primeira equação de U m do passo 1, achamos:

U m = P m y m 2       ⟹       P m 2 a 2 6 E I a + L = P m y m 2       ⟹       P m = 3 E I y m a 2 a + L

Passo 4

Substituindo essa fórmula de P m na primeira equação do passo 2, achamos:

m g h + y m = P m y m 2       ⟹       m g h + y m = 3 E I y m a 2 a + L y m 2

3 E I a 2 a + L y m 2 - m g y m - m g h = 0

A equação acima, mostra que para achar y m , precisamos achar a raiz positiva do polinômio do segundo grau através da fórmula de Bhaskara. No entanto, para achar a raiz, precisamos achar os valores numéricos dos coeficientes do polinômio. Para isso, precisamos descobrir quanto vale o momento de inércia I do perfil através de I para perfis quadrangulares abaixo.

I = b f d 3 12       ⟹       I = 16 × 16 3 12       ⟹       I = 5461,33   m m 4       ⟹       I = 5461,33 × 10 - 12   m 4

Antes de substituir os dados na equação, precisamos converter E de G P a pra P a multiplicando E por 10 9 e converter h de m m pra m multiplicando h por 10 - 3 .

3 E I a 2 a + L y m 2 - m g y m - m g h = 0

3 × 200 × 10 9 × 5461,33 × 10 - 12 0,75 2 0,75 + 1,25 y m 2 - 3 × 9,81 × y m - 3 × 9,81 × 40 × 10 - 3 = 0

2912 , 7 1   y m 2 - 29,43   y m - 1,1772 = 0

Pelo polinômio acima nós vemos que os coeficientes dele são:

a = 2912 , 7 1 b = - 29,43 c = - 1,1772

Sabendo disso, somos capazes de calcular y m por Bhaskara.

y m = - b + b 2 - 4 a c 2 a       ⟹     y m = - - 29,43 + - 29,43 2 - 4 × 2912 , 7 1 × - 1,1772 2 × 2912 , 7 1

y m = 0,02578   m

Ebaaaa! Lutamos, mas conseguimos resolver a letra (a) da questão! Vamos partir pra letra (b) agora!

Passo 5

Para achar a tensão σ m , temos que achar M m primeiro. Para achar M m precisamos encontar a força P m . Fazemos isso, substituindo o valor de y m na fórmula de P m deduzida.

P m = 3 E I y m a 2 a + L       ⟹       P m = 3 × 200 × 10 9 × 5461,33 × 10 - 12 × 0,02578 0,75 2 × 0,75 + 1,25

P m = 75,09   N

O momento fletor máximo M m é encontrado no ponto B , quando x = a . Logo, substituindo x por a na equação que deduzimos no passo 2 para o momento fletor M .

M = - P m x       ⟹       M m = - P m a       ⟹       M m = - 75,09 × 0,75       ⟹       M m = - 56,32   N m

Isso aííí! Encontramos o momento fletore máximo M m e resolvemos a letra (b) da questão!

Essa é a primeira etapa para achar σ m . Vamos deixar a última etapa para o próximo passo!

Passo 6

Antes de substituir M m na equação de σ m , temos que achar a distância c entre o ponto de maior tensão no perfil da viga e o centro da viga. c é igual à metade da altura d do perfil da viga.

c = d 2       ⟹       c = 16 2       ⟹       c = 8   m m       ⟹       c = 0,008   m

Substituindo os dados na equação de σ m , achamos:

σ m = M m c I       ⟹       σ m = - 56,32 × 0,008 5461,33 × 10 - 12       ⟹       σ m = 82 , 50 × 10 6   P a

Pronto! A letra (c) da questão também está feita! Acabamos tudo! Uhuul!

Resposta

a   y m = 0,02578   m

b   M m = - 56,32   N m

c   σ m = 82 , 50 × 10 6   P a

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