Enunciado

O bloco D é abandonado da posição mostrada, sobre a extremidade de uma barra de aço quadrada, de 16   m m de lado. Sabendo-se que E = 200   G P a , determinar na barra:

  1. a máxima deflexão em sua extremidade livre;
  2. o máximo momento fletor;
  3. a máxima tensão normal.

Passo 1

Como estão, queridos e queridas? Bora resolver uma questão de carregamento produzido por impacto para diminuir as dúvidas sobre esse tópico?

A questão quer saber três informações:

  1. A máxima deflexão no ponto B y m . Ela é a deformação provocada na barra as com o choque choque do bloco. Calculamos y m através da energia U m que a barra absorve no impacto. A energia U m é calculada pela equação abaixo que depende de y m .
  2. U m = P m y m 2

    onde P m é a força que provoca na barra as mesmas tensões produzidas pelo choque. Além disso, a energia U m que a barra absorve é igual à energia potencial transferida do bloco D para a barra no momento do choque.

    U m = m g h + y m

    Igualando essas duas equações e encontrando uma equação para P m em função de y m no apêndice D , conseguimos achar y m .

  3. O máximo momento fletor M m é encontrado através do equilíbrio de momentos da viga.
  4. Para encontrar a maior tensão σ m na viga, aplicamos a equação da tensão máxima de barras em flexão presente abaixo.

σ m = M m c I

Os dados que temos para achar σ m , M m e y m se encontram na figura abaixo.

d e b f são a altura e a largura do perfil da viga respectivamente.

Após entender tudo isso, podemos calcular y m no próximo passo.

Passo 2

A primeira etapa para encontrar y m é igualar as duas equações de U m .

m g h + y m = P m y m 2

A segunda etapa é deduzir uma fórmula de P m em função de y m a partir da equação de y m presente no apêndice D .

y m = P m L 3 3 E I       ⟹       P m = 3 E I y m L 3

Substituindo essa fórmula de P m na equação anterior, achamos:

m g h + y m = P m y m 2     ⟹     m g h + y m = 3 E I y m L 3 y m 2     ⟹   3 E I 2 L 3 y m 2 - m g y m - m g h = 0

A equação acima, mostra que para achar y m , precisamos achar a raiz positiva do polinômio do segundo grau através da fórmula de Bhaskara. No entanto, para achar a raiz, precisamos achar os valores numéricos dos coeficientes do polinômio. Para isso, precisamos descobrir quanto vale o momento de inércia I do perfil através de I para perfis quadrangulares abaixo.

I = b f d 3 12       ⟹       I = 16 × 16 3 12       ⟹       I = 5461,33   m m 4       ⟹       I = 5461,33 × 10 - 12   m 4

Antes de substituir os dados na equação, precisamos converter E de G P a pra P a multiplicando E por 10 9 e converter h de m m pra m multiplicando h por 10 - 3 .

3 E I 2 L 3 y m 2 - m g y m - m g h = 0

3 × 200 × 10 9 × 5461,33 × 10 - 12 2 × 0,75 3 y m 2 - 3 × 9,81 × y m - 3 × 9,81 × 40 × 10 - 3 = 0

3883,61   y m 2 - 29,43   y m - 1,1772 = 0

Pelo polinômio acima nós vemos que os coeficientes dele são:

a = 3883,61 b = - 29,43 c = - 1,1772

Sabendo disso, somos capazes de calcular y m por Bhaskara.

y m = - b + b 2 - 4 a c 2 a       ⟹     y m = - - 29,43 + - 29,43 2 - 4 × 3883,61 × - 1,1772 2 × 3883,61

y m = 0,0216   m

Ebaaaa! Lutamos, mas conseguimos resolver a letra (a) da questão! Vamos partir pra letra (b) agora!

Passo 3

Para achar a tensão σ m , temos que achar M m primeiro. Para achr M m precisamos encontar a força P m . Fazemos isso, substituindo o valor de y m na fórmula de P m deduzida a partir das informações extraídas no apêndice D .

P m = 3 E I y m L 3   ⟹   P m = 3 × 200 × 10 9 × 5461,33 × 10 - 12 × 0,0216 0,75 3   ⟹   P m = 167,77   N

Agora, podemos achar o máximo momento fletor M m , fazendo o equilíbrio de momentos da viga em relação ao ponto A .

Fazer o equilíbrio de momento em relação ao ponto A é a mesma coisa que dizer que a soma dos momentos em relação a A vale zero.

Para fazer esse equilíbrio e achar M m , temos que ter atenção nos sinais do momento! Como o momento M P tende a girar a viga no sentido horário, temos que colocar um sinal de menos na frente dele!

M m - M P = 0       ⟹       M m - P m L = 0       ⟹       M m = P m L

M m = 167,77 × 0,75       ⟹   M m = 125,83   N × m

Isso aííí! Encontramos o momento fletore máximo M m e resolvemos a letra (b) da questão!

Essa é a primeira etapa para achar σ m . Vamos deixar a última etapa para o próximo passo!

Passo 4

Antes de substituir M m na equação de σ m , temos que achar a distância c entre o ponto de maior tensão no perfil da viga e o centro da viga. c é igual à metade da altura d do perfil da viga.

c = d 2       ⟹       c = 16 2       ⟹       c = 8   m m       ⟹       c = 0,008   m

Substituindo os dados na equação de σ m , achamos:

σ m = M m c I       ⟹       σ m = 125,83 × 0,008 5461,33 × 10 - 12       ⟹       σ m = 184,32 × 10 6   P a

Pronto! A letra (c) da questão também está feita! Acabamos tudo! Uhuul!

Resposta

a   y m = 0,0216   m

b   M m = 125,83   N × m

c   σ m = 184,32 × 10 6   P a

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