Enunciado

Usando o método do trabalho e energia, determinar a deflexão em C , provocada pela carga P .

Passo 1

Oi, galera bonita! Tudo fluindo? Vamos resolver um exercício de deflexão através do método de energia pra alegrar seu dia?

Essa questão mostra uma viga sendo carregada com uma força P . Essa força faz a barra absorver uma energia U e se deformar. O enunciado pede que a gente ache a deflexão y C no ponto C da viga, usando duas equações de U . A primeira, calcula U a partir da força P .

U = P y C 2

A segunda equação, calcula U por meio de uma integral do momento fletor M da viga. No entanto, o valor de E I da viga (módulo de elasticidade E multiplicado por momento de inércia I ) varia ao longo da barra. Esse termo vale E I da ponta C x = 0 até B x = L 2 e vale 2 E I de B até C x = L . Por isso, precisamos dividir a integral em duas como mostrado abaixo.

Igualando essas duas equações de U , achamos y C .

Com todas essas informações em mãos, vamos iniciar as contas no próximo passo!

Passo 2

Para achar M precisamos usar a equação de equilíbrio de momento na parte direita da barra A C . Calcularemos o equilíbrio no ponto x .

Colocamos um sinal de menos na frente dos momentos M e M P , porque os dois fazem a viga girar no sentido horário.

- M P - M = 0       ⟹       - P x - M = 0       ⟹       M = - P x

Com esses valores de M , podemos achar U a partir da integral para encontar y C !

Passo 3

Sem enrolação, vamos substituir M na integral de U para poder achar y C mais tarde!

U = ∫ L / 2 L M 2 4 E I d x + ∫ 0 L / 2 M 2 2 E I d x       ⟹       U = ∫ L / 2 L - P x 2 4 E I d x + ∫ 0 L / 2 - P x 2 2 E I d x

Colocando as constantes para fora da integral, achamos:

U = P 2 4 E I ∫ L / 2 L x 2   d x + P 2 2 E I ∫ 0 L / 2 x 2   d x       ⟹       U = P 2 4 E I x 3 3 L / 2 L + P 2 2 E I x 3 3 0 L / 2

U = P 2 L 3 12 E I -   P 2 L 3 96 E I + 2 P 2 L 3 96 E I         ⟹       U = 3 P 2 L 3 32 E I

Substituindo essa equação de U na primeira equação de U do passo 1, achamos:

U = P y C 2       ⟹       3 P 2 L 3 32 E I = P y C 2       ⟹       y C = 3 P L 3 16 E I

Enfim achamos o resultado que a questão queria! Uhuuuul!

Resposta

y C = 3 P L 3 16 E I

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