Enunciado

Um bloco de peso W é abandonado de uma altura h acima de uma viga horizontal A B , e choca-se com ela no ponto D . Pede-se:

  1. Mostrar que a máxima deflexão y m no ponto D pode ser expressa por
  2. y m = y e s t 1 + 1 + 2 h y e s t  

    onde y e s t representa a deflexão em D provocada por uma carga estática W aplicada nesse ponto, e onde a quantidade entre parênteses é chamada coeficiente de impacto ou fator dinâmico;

  3. para a barra e carregamento do Prob. 10.72, calcular o fator dinâmico.

Passo 1

Fala, pessoal! Como estão os estudos? Bora fazer um exercício de carga produzida por choque?

O enunciado quer primeiro que a gente compare a deformação sofrida por uma mesma viga em dois casos. No caso 1 a viga sofre o impacto de um bloco de peso W que é largado a uma altura h da viga. Esse impacto gera uma força P m na viga e gera uma deflexão y m no ponto D da viga onde ocorre o impacto. Nesse caso, a energia potencial U m do bloco é absorvida pela viga.

U m = W h + y m

No caso 2, uma força estática W é aplicada no ponto D da viga, causando uma deflexão y e s t nesse ponto D . Essa deformação y 2 pode ser encontrada no apêndice D do livro.

O enunciado quer que a gente mostre que:

y m = y e s t 1 + 1 + 2 h y e s t  

A figura abaixo mostra esses dois casos.

Em segundo lugar, o enunciado quer que a gente encontre o valor do fator dinâmico da viga do Prob 10.72. O fator dinâmico vale:

f a t o r   d i n â m i c o = 1 + 1 + 2 h y e s t

A figura abaixo mostra todos os dados do Prob. 10.72 que precisamos para achar o f a t o r   d i n â m i c o .

O y e s t do Prob 10.72 é encontrado a partir da equação presente no apêndice D do livro.

A figura abaixo mostra os dados da questão 10.72.

No próximo passo vamos começar as contas determinando o valor de y e s t da letra (a).

Passo 2

y e s t da barra da letra (a) é obtido na equação presente no apêndice D .

y e s t = W a 2 b 2 3 E I L

onde E é o módulo de elasticidade do material da vida e I é o momento de inércia do perfil da viga.

Pra achar y m , temos que lembrar que existe uma equação para calcular U m em função da força P m produzida pelo impacto do bloco de massa W .

U m = P m y m 2

Substituindo essa equação na outra equação de U m , obtemos.

U m = W h + y m       ⟹       P m y m 2 = W h + y m

A equação resultante mostra que só falta achar uma equação de P m em função de y m para conseguir comparar y m com y e s t .

Achamos essa equação no apêndice D do livro.

y m = P m a 2 b 2 3 E I L       ⟹     P m = 3 E I L y m a 2 b 2

Ao invés de substituir P m na equação de y m , vamos descobrir quanto vale 3 E I L a 2 b 2 primeiro.

Passo 3

Se a gente reorganizar a equação de y e s t , conseguimos descobrir quanto vale 3 E I L a 2 b 2 .

y e s t = W a 2 b 2 3 E I L       ⟹       3 E I L a 2 b 2 = W y e s t

Substituindo essa equação na fórmula de P m , achamos:

P m = W y m y e s t

Agora, vamos substituir P m na equação de y m que deduzimos no passo 2.

P m y m 2 = W h + y m       ⟹       W y m y e s t y 1 2 = W h + y m       ⟹       W y m 2 2 y e s t = W h + y m      

Cortando W nos dois lados achamos:

y m 2 2 y e s t = h + y m       ⟹         y m 2 - 2 y e s t   y m - 2 y e s t h

A equação acima, mostra que para achar y m , precisamos achar a raiz positiva do polinômio do segundo grau através da fórmula de Bhaskara. No entanto, para achar a raiz, precisamos achar os coeficientes do polinômio.

Pelo polinômio acima nós vemos que os coeficientes dele são:

a = 1 b = - 2 y e s t c = - 2 y e s t h

Sabendo disso, somos capazes de calcular y m por Bhaskara.

y m = - b + b 2 - 4 a c 2 a       ⟹       y m = - - 2 y e s t + - 2 y e s t 2 - 4 × 1 × - 2 y e s t h 2 × 1

y m = 2 y e s t + 4 y e s t 2 + 8 y e s t h 2

Colocando o 4 e o y e s t 2 em evidência dentro da raiz:

y m = 2 y e s t + 4 y e s t 2 1 + 2 h y e s t 2       ⟹       y m = 2 y e s t + 2 y e s t 1 + 2 h y e s t 2

Cortando o número 2 presente em todos os termos da fração e colocando y e s t em evidência:

y m = y e s t + y e s t 1 + 2 h y e s t       ⟹       y m = y e s t 1 + 1 + 2 h y e s t

Aeeeeee! Mostramos o que a letra (a) da questão queria!

Passo 4

Agora temos que resolver a letra (b) da questão, calculando o fator dinâmico do Prob. 10.72.

A única variável presente na equação do fator dinâmico que não conhecemos é o y e s t da viga. Calculamos esse valor, supondo que uma força W de intensidade igual ao peso W do bloco crrega a viga. Essa força vale:

W = m g       ⟹       W = 3 × 9,81       ⟹       W = 29,43   N

Além disso, achamos uma equação para y e s t a partir do apêndice D .

y e s t = W L 3 3 E I

E é o módulo de elasticidade do material da viga que vale 200 × 10 9   P a , L é o comprimento da viga que vale 0,75   m e I é o momento de inércia da viga que pode ser calculado pela equação de momento de inércia para perfis quadrangulares abaixo.

I = b f d 3 12       ⟹       I = 16 × 16 3 12       ⟹       I = 5461,33   m m 4       ⟹       I = 5461,33 × 10 - 12   m 4

Substituindo tudo isso na equação de y e s t , achamos:

y e s t = W L 3 3 E I       ⟹       y e s t = 29,43 × 0,75 3 3 × 200 × 10 9 × 5461,33 × 10 - 12       ⟹       y e s t = 0,003789   m

Substituindo esse valor na equação do fator dinâmico e lembrando que o h do Prob 10.72 vale 0,04   m :

f a t o r   d i n â m i c o = 1 + 1 + 2 h y e s t

f a t o r   d i n â m i c o = 1 + 1 + 2 × 0,04 0,003789  

f a t o r   d i n â m i c o = 5,703

Acaboooou! Encontramos o que a letra (b) da questão pedia!

Resposta

b   f a t o r   d i n â m i c o = 5,703

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