Enunciado

Usando o método do trabalho e energia, determinar a deflexão no ponto D , devido à carga P .

Passo 1

E aí, galerinha! Estudando muito? Bora fazer um exercício de deflexão através do método de energia?

Essa questão mostra uma viga sendo carregada com uma força P . Essa força faz a barra absorver uma energia U e se deformar. O enunciado pede que a gente ache a deflexão y D no ponto D da viga, usando duas equações de U . A primeira, calcula U a partir da força P .

U = P y D 2

A segunda, calcula U por meio de uma integral do momento fletor M da viga.

U = ∫ 0 L M 2 2 E I d x

Igualando essas duas equações de U , achamos y D .

A figura abaixo mostra os dados que temos para achar y D .

R A é a força de reação causada pela restrição no ponto A e R B é a força de reação causada pela restrição no ponto B . Precisamos apenas uma das forças para encontrar o momento M . No próximo passo, calcularemos R A .

Passo 2

Para achar R A , precisamos calcular o equilíbrio de momentos da barra em relação ao ponto B . Escolhemos o ponto B , para fazer o equilíbrio de momentos, porque nesse ponto, R B não tem braço de alavanca. Logo, R B é eliminado na equação e podemos achar R A sem achar R B .

A figura abaixo mostra os momentos envolvidos no equilíbrio em relação ao ponto B .

Como o momento de R A tende a fazer a barra girar no sentido horário, ele deve ganhar um sinal de menos na frente.

- M A + M P = 0       ⟹     - R A L + P b = 0       ⟹       R A = P b L

Para achar M precisamos usar a equação de equilíbrio de momento na parte esquerda da barra A B . Calcularemos o equilíbrio no ponto x . O momento M tem dois valores: um quando a parte esquerda da barra ainda não inclui a força P e outro quando a parte esquerda inclui a força P . Vamos começar o cálculo do primeiro valor de M .

Como a força R A faz a barra tender a girar no sentido horário, vamos colocar um sinal de menos na frente do momento de R A .

- M R A + M = 0       ⟹       - R A x + M = 0       ⟹       - P b L x + M = 0       ⟹       M = P b L x

Agora vamos calcular o segundo valor de M .

De novo precisamos observar que, como a força R A faz a barra tender a girar no sentido horário, vamos colocar um sinal de menos na frente do momento de R A .

M P - M R A + M = 0       ⟹       P x - a - R A x + M = 0

P x - a - P b L x + M = 0       ⟹       M = - P a L x - L

Com esses valores de M , podemos achar U !

Passo 3

M tem dois valores. Um quando x vale entre 0 e a e outro, quando x vale entre a e L .

S e   0 ≤ x < a       ⟹     M = P b L x

S e   a < x ≤ L       ⟹       M = - P a L x - L

Por isso, para substituir M na integral que calcula U , precisamos separar a integral em duas. Uma que vai de 0 a a para o primeiro valor de M e outra que vai de a a L para o segundo valor de M .

U = ∫ 0 L M 2 2 E I d x ⟹ U = ∫ 0 a M 2 2 E I d x + ∫ a L M 2 2 E I d x

U = ∫ 0 a P b L x 2 2 E I d x + ∫ a L - P a L x - L 2 2 E I d x

Colocando as constantes para fora da integral, achamos:

U = P 2 b 2 2 E I L 2 ∫ 0 a x 2   d x + P 2 a 2 2 E I L 2 ∫ a L x - L 2   d x       ⟹       U = P 2 b 2 2 E I L 2 x 3 3 0 a   + P 2 a 2 2 E I L 2 x - L 3 3 a L

Substituindo os limites de integração:

U = P 2 b 2 a 3 6 E I L 2 + P 2 a 2 b 3 6 E I L 2       ⟹       U = P 2 a 2 b 2 6 E I L 2 a + b ⏞ L       ⟹       U = P 2 a 2 b 2 6 E I L

Agora podemos achar y D !

Passo 4

Substiuindo a equação de U que acabamos de deduzir na primeira equação de U do passo 1:

U = P y D 2       ⟹       P 2 a 2 b 2 6 E I L = P y D 2       ⟹       y D = P a 2 b 2 3 E I L

Enfim achamos o resultado que a questão queria! Uhuuuul!

Resposta

y D = P a 2 b 2 3 E I L

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