Enunciado

O bloco rígido pesa 400   kN e será suportado pelos postes A e B , feitos de aço A- 36 , e pelo poste C , feito de latão vermelho C 83400 . Se todos os postes tiverem o mesmo comprimento original antes de serem carregados, determine a tensão normal média desenvolvida em cada um deles, quando o poste C for aquecido de modo que sua temperatura aumente 10   ° C . Cada poste tem área de seção transversal de 5000   mm 2 .

Passo 1

Cara, vamos listar o que a gente tem. Um bloco pesando 400   kN é sustentando por três postes. Um dos postes é aquecido.

Características dos postes em A e B :

  • Aço A- 36 : E a ç o = 200   GPa . (Tabelado)
    • Comprimento inicial: L
    • Área transversal: A = 5000   mm 2 .
    • Características do poste em C :

    • Latão vermelho C 83400 : E l a t = 101   GPa , α l a t = 18 10 - 6   ° C - 1 . (Tabelado)
  • Comprimento inicial: L
  • Área transversal: A = 5000   mm 2 .

O poste em C sofre uma mudança de temperatura de Δ T = 10   ° C .

Queremos descobrir a tensão em cada poste. Fórmula da tensão:

σ = F A

Temos o valor das áreas, falta descobrir as forças. Bora!

Passo 2

Começamos com diagrama de corpo livre.

Vejamos no que a as condições de equilíbrios nos ajudam. Equilíbrio de momentos:

∑ M C = 0

- 1 F A + 1 F B = 0

F A = F B

Equilíbrio de forças:

∑ F = 0

F A + F B + F C = 400   kN

2 F A + F C = 400   kN

Temos duas incógnitas e uma equação. Precisamos de mais uma. Ela vai vir da geometria do problema e da deformação, vem ver!

Passo 3

Os postes A e B irão se deformar por causa do peso do bloco, reduzindo um comprimento δ A .

O poste C também vai reduzir por causa do bloco ( δ C F ) , mas vai estender por causa da mudança de temperatura ( δ C T ) . O deslocamento total do ponto C para baixo é

δ C = δ C F - δ C T

Ve que a temperatura causa um aumento do bloco, logo, para o nosso referencial (deslocamento para baixo), ele fica negativo.

O bloco é rígido (ele não vai se curvar), logo os dois postes da ponta precisam ter sempre o mesmo comprimento porque são iguais e sofrem a mesma carga.

Assim, já que temos simetria no problema, e nosso bloco não pode se curvar, tipo, ele não pode fazer algo assim:

Aí o poste do meio precisa também ter sempre o mesmo comprimento que os outros postes das pontas. Daí tiramos que todos os postes devem deformar o mesmo comprimento!

δ A =   δ C

δ A = δ C F - δ C T

Essa é a nossa condição de compatibilidade. Temos fórmulas para calcular esses termos!

Para a mudança de temperatura, usamos a relação da dilatação térmica:

δ = α   Δ T   L

E para o efeito do peso, usamos a relação carga-deslocamento:

δ = F   L A   E

Opa, então a condição de compatibilidade vai usar força, que é o que procuramos.

F A   L A   E a ç o = F C   L A   E l a t - α l a t   Δ T   L

Passo 4

Vamos dar uma ajeitada nas contas e aí resolvemos o sistema de equações.

F A   L A   E a ç o = F C   L A   E l a t - α l a t   Δ T   L

F A = E a ç o E l a t F C - α l a t   Δ T   A   E a ç o

Substituindo nossos dados

F A = 1,98 F C - 180

Agora substituímos em 2 F A + F C = 400   kN (equação do passo 1) para achar

4,96 F C = 760   kN

F C = 153,2   kN

F A = F B = 123,4   kN

Passo 5

Divida as forças pela área A para acabar a questão:

σ C = 30,64   MPa

σ A = σ B = 24,68   Mpa

Prontinho! Arrasamos!

Resposta

Tensão nos postes A e B : σ A = σ B = 24,68   MPa .

Tensão no poste C : σ C = 30,64   MPa .

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