Enunciado

A barra tem área de seção transversal A , comprimento L , módulo de elasticidade E e coeficiente de expansão térmica α . A temperatura da barra muda uniformemente ao longo de seu comprimento de T A em A para T B em B   de modo que, em qualquer ponto x ao longo da barra, T = T A + x ( T B - T A ) / L . Determine a força que a barra exerce nas paredes rígidas. Inicialmente, não há nenhuma força axial na barra.

Passo 1

Uma barra entre paredes rígidas é aquecida. Essa questão não tem valores, vamos anotar tudo que sabemos.

Características da barra:

  • Módulo de elasticidade: E .
  • Coeficiente de expansão térmica: α .
  • Comprimento inicial: L .
  • Área transversal: A .

A temperatura inicial da barra era T A . A barra foi aquecida, e a temperatura T ( x ) na posição ( x ) ficou como

T ( x ) = T A + T B - T A L x

Podemos escrever o aumento de temperatura então:

Δ T x = T x - T A = T B - T A L x

Até aqui todas essas letras são pra serem consideradas conhecidas!

Mas o que está ocorrendo com a barra afinal? A diferença de temperatura Δ T x irá induzir uma expansão térmica, e as paredes irão resistir à expansão com uma força F .

Queremos achar uma expressão que defina essa força F .

Passo 2

Quais são os efeitos atuando na barra?

  • O aumento de temperatura vai causar uma expansão da barra: δ T  
  • A reação das paredes vai comprimir a barra, reduzindo: δ F .

Como as paredes não podem se mover, o resultado final da expansão e compressão da barra tem que ser zero!

δ T - δ F = 0

Temos fórmulas pra esses termos!

A expansão térmica aqui ocorre de maneira contínua. Veja que a variação de temperatura Δ T depende de x (posição)! Então é preciso integrar para acharmos a expansão:

δ T = ∫ L α   Δ T ( x )   d x  

Para a compressão, temos a relação carga-deslocamento.

δ F = F   L A   E

Passo 3

Substitua a expressão de Δ T x em δ T e integre de 0 a L .

δ T = ∫ 0 L α   T B - T A L x   d x → δ T = α   T B - T A L ∫ 0 L x   d x →

δ T = α   T B - T A L ( L 2 2 - 0 )

δ T = α   T B - T A 2 L

Passo 4

Substitua tudo em δ T - δ F = 0 e isole o F :

α   T B - T A 2 L - F   L A   E = 0

F = α   A   E 2 T B - T A

Resposta

Força: F = α   A   E 2 T B - T A

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