Enunciado

O borrifador é projetado para girar à velocidade angular constante ω e espalhar água na taxa volumétrica Q . Cada um dos quatro bocais tem uma área de saída A . Escreva uma expressão para o torque M sobre o eixo do borrifador necessário para manter o movimento requerido. Para uma determinada pressão e, consequentemente, uma taxa de fluxo Q , a que velocidade ω 0 irá operar o borrifador sem nenhum torque aplicado? Seja ρ a massa específica da água.

Passo 1

Vamos calcular o momento em relação ao eixo do borrifador. A fórmula que precisamos usar é a seguinte:

∑ M = m ' ( v 2 d 2 - v 1 d 1 )

Como a água entra no sismte através do próprio eixo, a velocidade v 1 de entrada está na própria direção do nosso ponto de referência, então d 1 = 0 :

∑ M = m ' ( v 2 d 2 )

Se a taxa volumétrica é Q , podemos calcular a taxa de escoamento de massa através da massa específica ρ :

m ' = ρ Q

Então nossa fórmula fica:

∑ M = ρ Q ( v 2 d 2 )

Passo 2

Se a água deixa o cano de área A a uma taxa volumétrica Q , isso significa que a velocidade de saída da água em cada cano é:

u = Q 4 A

Essa é a velocidade da água em relação ao cano. Mas como o cano em si também está girando, precisamos descontar a velocidade que a água adiqure ao participar desse movimento.

Substituindo isso na nossa equação para o momento resultante, vamos ficar com a seguinte expressão:

∑ M = ρ Q Q 4 A r - ω r r - ω b b

E então:

M = ρ Q Q 4 A r - ω r 2 + b 2

Passo 3

E para encontrar a velocidade angular no caso em que nenhum momento é aplicado podemos aproveitar a expressão que acabamos de escrever:

M = ρ Q Q 4 A r - ω r 2 + b 2

Estamos interessados no caso M = 0 :

0 = Q 4 A r - ω r 2 + b 2

Isolando ω :

ω = Q r 4 A ( r 2 + b 2 )

Resposta

O torque necessário é M = ρ Q Q 4 A r - ω r 2 + b 2 , e na sua ausência a velocidade angular do movimento seria ω = Q r 4 A ( r 2 + b 2 )   .

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