Enunciado

O cabo se romperá quando a tração máxima alcançar T m á x = 10   k N . Determine a flecha mínima h se ele suporta a carga distribuída uniforme de w = 600   N / m .

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Queremos determinar a flecha mínima h se o cabo suporta uma carga uniforme w = 600   N / m .

A flecha mínima ocorrerá quando a tração no cabo for a máxima.

Para que a gente possa determinar esta incógnita, precisamos determinar a equação da curva que define o cabo. E para isto, temos que resolver a seguinte integral:

y = 1 F H ∫ ∫ w x d x d x

Sendo w x = w 0 o carregamento aplicado na corda. Portanto, a nossa equação será:

y = 1 F H ∫ ∫ 600 d x d x

y = 1 F H ∫ 600 x + C 1 d x

y = 1 F H 300 + C 1 x + C 2

Passo 2

Agora que obtivemos a equação da curvatura da corda, devemos aplicar as condições de contorno para descobrir as incógnitas C 1 , C 2 e F H .

Vamos fixar o sistema de coordenadas no ponto mais baixo do cabo, que está exatamente no meio do cabo. Aqui, temos as seguintes condições de contorno: y 0 = 0 , d y d x x = 0 = 0 e y 12,5 = h . Aplicando a primeira, temos:

y 0 = 1 F H 300 ⋅ 0 2 + C 1 ⋅ 0 + C 2 = C 2 F H = 0 ⟹ C 2 = 0

Já aplicando a segunda, obtemos:

d y d x x = 0 = 1 F H 600 ⋅ 0 + C 1 = C 1 F H = 0 ⟹ C 1 = 0

Por fim, aplicando a terceira condição, temos:

h = 300 ⋅ 12,5 2 F H ⟹ F H = 46875 h

Portanto, a equação da corda é:

y x = h x 2 156,25

Passo 3

Bom, apesar de termos determinado várias incógnitas, ainda não determinamos quem é a flecha mínima h .

Mas calma que já estamos lá! A flecha mínima ocorrerá quando a tração for máxima. E, como sabemos, a máxima tração no cabo ocorrerá no ponto em que ele tiver a maior inclinação. Isto é, o ponto em que d y / d x for máximo.

Para esta questão, como d y d x = h x 78,125 , então, a inclinação será máxima nas extremidades, em x = ± 12,5   m .

Escolhendo x = 12,5   m , teremos:

tan ⁡ θ m á x = d y d x x = 12,5 = h 6,25

E logo,

cos ⁡ θ m á x = 1 tan 2 ⁡ θ m á x + 1 = 1 0,16 h 2 + 1

cos ⁡ θ m á x = 1 0,0256 h 2 + 1 = 1 0,0256 h 2 + 1

Por fim, como a tração máxima nos já conhecemos, e ela é calculada T m á x = F H cos ⁡ θ m á x , então, basta substituirmos os valores de cada incógnita para descobrir quem é a flecha h . Logo,

T m á x = F H cos ⁡ θ m á x

1 0000 = 46875 h 1 0,0256 h 2 + 1 ⟹ h = 7,09   m

E assim finalizamos a questão!

Resposta

h = 7,09   m

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