Enunciado

Cada uma das barras de treliça mostrada é feita de alumínio e tem a seção transversal com as áreas indicadas. Usando E = 72   G P a , determinar a energia de deformação da treliça para o carregamento mostrado.

Passo 1

E aí, pessoal! Bora fazer mais um exercício de energia de deformação?

O enunciado dessa questão pede que a gente calcule a energia de deformação combinada U das duas treliças B C e C D . Essa energia de deformação combinada U é a soma das energias U B C e U C D .

U = U B C + U C D

Essas duas treliças reagem a duas forças que estão sendo aplicadas (uma força horizontal de 3 0   k N que chamaremos de H e outra força vertical de 8 0   k N que chamaremos de V ). A treliça B C reage com uma força F B C e a treliça C D reage com uma força F C D . É importante notar que as forças de reação das treliças F C D e F B C estão sempre na direção das treliças!

Para descobrir quanto vale U B C e U C D precisamos calcular quanto valem as forças F B C e F C D . Essas duas forças são calculadas, aplicando as equações de equilíbrio de forças nos eixos x e y no ponto C . Tendo essas forças, calculamos U C D e U B C a partir das equações de energia abaixo.

U C D = F C D 2 L C D 2 A C D E

U B C = F B C 2 L B C 2 A B C E

E é o módulo de elasticidade das treliças que vale 72   G P a . O módulo de elasticidade das duas treliças são iguais, porque o enunciado diz que elas são feitas do mesmo material. A B C e A C D são as áreas das seções transversais das treliças.

Agora que a gente sabe de tudo isso, podemos partir para o início da resolução!

Passo 2

Nesse passo, nós vamos calcular o seno e o cosseno dos ângulos α e β presentes no problema.

Esses seno e cosseno de α e β vão ser muito importantes para usar as equações de equilíbrio em x e y .

Veja a figura abaixo para entender que ângulo é esse.

Antes de tudo, precisamos calcular os comprimentos L B C e L C D através do teorema de Pitágoras!

L B C 2 = 2,2 + 1 2 + 2,4 2       ⟹     L B C = 4,0   m

L C D 2 = 1 2 + 2,4 2       ⟹     L C D = 2,6   m

Para calcular o seno dos ângulo α e β , temos que dividir oposto ao ângulo pela hipotenusa.

sen ⁡ α = 2,4 2,6       ⟹       sen ⁡ α = 0,9231

sen ⁡ β = 2,4 4       ⟹       sen ⁡ β = 0,6

Para calcular o cosseno dos ângulos α e β , temos dividir o lado adjacente ao ângulo pela hipotenusa.

cos ⁡ α = 1 2,6       ⟹     cos ⁡ α = 0 , 3846

cos ⁡ β = 2,2 + 1 4       ⟹     cos ⁡ β = 0 , 8

Conhecendo o seno e o cosseno de α e β podemos calcular as forças através das equações de equilíbrio em x e y .

Passo 3

Vamos começar o cálculo das forças fazendo o equilíbrio de forças na vertical.

∑ F y = 0

F y são as projeções verticais (em y ) das forças!

Começar pelo equilíbrio em y . Tanto faz por qual equilíbrio começamos. Poderíamos começar com o equilíbrio das forças na horizontal.

Para fazer o equilíbrio vertical, vamos ver quanto vale a projeção de F B C e F C D em y .

As forças que estão pra baixo na figura vão ganhar um sinal de menos e as que estão pra cima, ganham um sinal de mais na equação de equilíbrio em y .

Antes de usar a equação, temos que lembrar que a força V de 8 0   k N vale 8 0000   N .

∑ F y = 0

- V + F B C × sen ⁡ β + F C D × sen ⁡ α = 0

- 80000 + F B C × 0,6 + F C D × 0,9231 = 0

F B C = 80000 0,6 - F C D × 0,9231 0,6

Passo 4

Nesse passo, vamos fazer o equilíbrio de forças na horizontal (em x ) através da equação abaixo.

∑ F x = 0

onde F x são as projeções das forças na horizontal.

Na equação de equilíbrio em x , todas as forças que estão para a esquerda ganham um sinal de menos na frente e todas as forças que estão para a direita ganham um sinal de mais na frente.

Antes de usar a equação, temos que lembrar que a força H de 3 0   k N vale 3 0000   N .

∑ F x = 0

+ F B C × cos ⁡ β + F C D × cos ⁡ α - H = 0

+ 80000 0,6 - F C D × 0,9231 0,6 × 0,8 + F C D × 0 , 3846 - 3 0000 = 0

F C D = 90601   N

Substituindo isso na equação de F B C que encontramos no equilíbrio de forças em y , achamos:

F B C = 80000 0,6 - 90601 × 0,9231 0,6

F B C = - 6056   N

Agora temos as duas forças que precisamos para calcular U B C , U C D e U .

No próximo passo faremos essa conta.

Passo 5

Nesse passo calcularemos U B C , U C D e U .

Vamos começar calculando U B C .

U B C = F B C 2 L B C 2 A B C E

Antes de usar essa fórmula, temos que lembrar que a área A B C de 2000   m m 2 vale 2000 × 10 - 6   m 2 e que o módulo de elasticidade E de 72   G P a vale 72 × 10 9   P a .

U B C = - 6056 2 × 4 2 × 2000 × 10 - 6 × 72 × 10 9

U B C = 0,51   J

Antes de usar a fórmula de U C D , temos que lembrar que a área A C D de 2500   m m 2 vale 2500 × 10 - 6   m 2 .

U C D = F C D 2 L C D 2 A C D E

U C D = 90601 2 × 2,6 2 × 2500 × 10 - 6 × 72 × 10 9

U C D = 59,28   J

Somando essas duas energias, somos capazes de encontrar U .

U = U B C + U C D

U = 0,51 + 59,28

U = 59,79   J

Shoooow! Fechamos mais uma questão!

Resposta

U = 59,79   J

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