Enunciado

A barra A B é feita de um aço reforçado para o qual σ e = 275   M P a e E = 200   G P a . Uma energia de deformação de 5   J deve ser acumulada pela barra quando a força axial P é aplicada. Sabendo-se que o diâmetro da barra é d = 9   m m , determinar o comprimento da barra para a qual o coeficiente de segurança, em relação à deformação permanente, é seis.

Passo 1

Oieee! E aí, como você está? Vamos resolver um exercício de energia de deformação?

O enunciado quer que a gente calcule o comprimento L da barra que faz o coeficiente de segurança C S ser igual a 6 .

C S = 6       ⟹       L = ?

O coeficiente de segurança C S é a divisão entre a energia de deformação máxima U e que a barra atinge antes de se deformar permanentemente (quando a tensão é igual à tensão de escoamento σ e = 275   M P a ) e a energia de deformação U = 5   J que a barra tem ao ser tracionada com uma força P .

C S = U e U       ⟹       U e = C S × U

Se a gente substituir C S por 6 na fórmula acima, fica mais fácil de perceber o que o enunciado quer de verdade. Ele quer o valor do comprimento L que faz U e ser 6 vezes maior que U .

U e = C S × U       ⟹       U e = 6 × U

A figura abaixo mostra todos os dados que precisamos para achar esse L .

A é a área da seção transversal da barra. D é o diâmetro da barra. E é o módulo de elasticidade da barra. σ e é a máxima tensão que a barra pode sofrer sem se deformar permanentemente.

Para achar a energia de deformação máxima U e , precisamos achar a máxima carga P e que causa essa deformação máxima. Essa carga é igual à tensão σ e vezes A .

P e = σ e × A

Para calcular a energia de deformação U e a partir da força P e precisamos usar a equação 10.14 do livro. Esse equação é válida para barras com áreas da seção transversal A constantes, como é o nosso caso!

U e = P e 2 L 2 A E

Agora que temos todas essas informações em mãos, vamos calcular o comprimento L da barra nos próximos passos!

Passo 2

Agora, vamos cumprir a primeira etapa que precisamos para achar o comprimento L . Nessa etapa, vamos calcular a área A , depois calcularemos P e e, por último, calcularemos U e .

Então vamos iniciar, achando a área A em m 2 .

A = π × D 2 4       ⟹       A = π × 9 2 4       ⟹       A = 63,62   m m 2       ⟹       A = 63,62 × 10 - 6   m 2

Oba, fizemos a primeira parte! Agora vamos partir para o cálculo de P e ! Antes, para a força P e dar um resultado em newton N , temos que lembrar que a tensão de escoamento σ e = 275   M P a é igual à σ e = 275 × 10 6   P a .

P e = σ e × A       ⟹       P e = 275 × 10 6 × 63,62 × 10 - 6       ⟹       P e = 17495,5   N

Agora estamos prontos para encerrar a primeira etapa, calculando a energia de deformação U e !

U e = C S × U       ⟹       U e = 6 × 5       ⟹       U e = 30   J

Agora que temos todos esses valores, podemos substituir todos os termos da outra equação de U e para achar o valor do comprimento L !

Passo 3

Nesse passo, vamos enfim achar o valor de L . Mas não se apresse. Para o resultado da conta dar em metro m , precisamos converter o módulo de elasticidade E de G P a para P a .

Fazemos isso, multiplicando o valor de E em G P a por 10 9 .

E = 200   G P a       ⟹       E = 200 × 10 9   P a

Substituindo esse valor na equação de U e , ela vira:

U e = P e 2 L 2 A E

30 = 17495,5 2 × L 2 × 63,62 × 10 - 6 × 200 × 10 9

Isolando o L em um lado da equação e passado todos os outros termos para o lado oposto, achamos:

L = 30 × 2 × 63,62 × 10 - 6 × 200 × 10 9 17495,5 2

L = 2,49   m

Uhuuuul! Achamos o comprimento L ! Bate aqui!

Resposta

L = 2,49   m

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