Enunciado

Cada uma das hastes esbeltas uniformes de massa m está soldada na sua extremidade em uma posição tangente à borda do disco circular. O disco gira em um plano horizontal em torno de um eixo vertical fixo por meio do seu centro O . Determine as expressões para o momento fletor M , a tração T , e o cortante V transmitido pela solda à haste se o disco possui (a) uma velocidade angular constante ω em torno de O e (b) uma aceleração angular α no sentido horário em torno de O ao dar a partida. O sentido (SH ou SAH) de ω faz alguma diferença? Analise apenas as forças no plano horizontal.

Passo 1

(a) No caso em que o disco possui uma velocidade angular constante, a única aceleração que podemos atribuir ao centro de massa da haste é a centrípeta:

a - = v 2 r = ω 2 r -

Onde r - é o raio da trajetória circular do centro de massa da haste (e não da extremidade, portanto esse raio é diferente do raio r do disco). Podemos definir um ângulo θ de forma que:

r = r - cos ⁡ θ

Então podemos escrever o momento total em relação ao ponto A da seguinte forma:

M = m r - ω 2 cos ⁡ θ l 2

Onde tomamos o componente perpendicular da aceleração centrípeta (a seta azul no desenho), em acordo com a definição de momento.

M = m r cos ⁡ θ ω 2 cos ⁡ θ l 2

M = m r ω 2 l 2

Passo 2

Ainda falando sobre o caso do item (a), a força V é simplesmente a força resultante na direção centrípeta:

∑ F n = V

E como já vimos no nosso desenho:

V = m r - ω 2 cos ⁡ θ

V = m r cos ⁡ θ ω 2 cos ⁡ θ = m r ω 2

E, analogamento, a tração T é a força resultante na outra direção, então basta tomar a outra componente da força centrípeta:

T = m r - ω 2 sen ⁡ θ

E olhando o desenho podemos encontrar uma expressão para o seno:

sen ⁡ θ = l / 2 r -

Então:

T = m r - ω 2 l / 2 r - = m l ω 2 2

Passo 3

(b) Agora vamos tratar do caso em que existe uma aceleração angular α no sentido anti-horário, mas com a intenção de calcular M , T e V ao dar a partida.

Vamos refazer o diagrama:

∑ M A = M

E o momento fletor M deve ser igual ao momento associado ao centro de massa da haste, mais o momento associado à tendência da haste de rodar em torno do seu centro de massa:

M = - m r - α sen ⁡ θ l 2 - I α

Sendo que, pelo desenho, podemos determinar que:

sen ⁡ θ = l / 2 r -

r - = l 2 sen ⁡ θ

Então:

M = - m l 2 4 α - I α

E o momento de inércia da haste é I = 1 12 m l 2 , então:

M = - α m l 2 4 + m l 2 12 = - m l 2 α 3

Passo 4

(c) Agora podemos usar a segunda lei de Newton nas direções normal e tangencial para encontrar as forças V e T :

Na direção normal (a direção paralela à força V ), temos:

∑ F n = - V = m r - α sen ⁡ θ

V = - m l 2 sen ⁡ θ α sen ⁡ θ = - m l α 2

E na direção tangencial:

∑ F t = T = m r - α cos ⁡ θ

E aqui é mais útil usar a relação r - = r / cos ⁡ θ :

T = m r cos ⁡ θ α cos ⁡ θ

T = m r α

Resposta

(a) M = m r l ω 2 2 , V = m r ω 2 e T = m l ω 2 2 .

(b) M = - m l 2 α 3 , V = - m l α 2 e T = m r α .

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