Enunciado

(a) Calcule o momento da força de 90   N em relação ao ponto O para a condição θ = 15 ° . Determine também o valor de θ para o qual o momento em relação a O é (b) zero e (c) máximo.

Passo 1

Em um problema como esse é importante usar o Teorema de Varignon, ou seja, lembrar que podemos calcular o momento de uma força em relação a um ponto olhando para os momentos das componentes em relação ao mesmo ponto.

No caso a força F tem uma componente na direção vertical:

F y = F cos ⁡ θ

E outra na direção horizontal:

F x = - F sen ⁡ θ

E o sinal negativo aparece porque essa componente aponta para a esquerda no eixo horizontal.

Passo 2

(a) Agora podemos calcular os momentos de cada uma dessas forças em relação ao ponto O , e então somá-los.

Começamos pelo momento de F x :

M x = F x   ( 0,8 )

Porque 0,8 é a distância entre a linha de ação da força F x e o ponto O .

Pela mesma lógica:

M y = F y ( 0,6 )

E agora podemos somar tudo para encontrar o momento total:

∑ M = 0,6 F y + 0,8 F x

∑ M = 0,6 F cos ⁡ θ - ( 0,8 ) ( F sen ⁡ θ )

No caso em que F = 90   N e θ = 15 ° :

∑ M = 0,6 90 cos ⁡ 15 ° - ( 0,8 ) ( 90 ) ( sen ⁡ 15 ° )

∑ M = 52,16 - 18,63

∑ M = 33,5   N m

Passo 3

(b) Agora vamos usar a mesma equação para determinar o θ para o qual o momento é igual a zero:

0 = 0,6 F cos ⁡ θ - ( 0,8 ) ( F sen ⁡ θ )

Dividindo tudo por F :

0,6 cos ⁡ θ = 0,8 sen ⁡ θ

sen ⁡ θ cos ⁡ θ = 0,6 0,8

θ = arctan ⁡ ( 6 / 8 ) = 36,9 °

E esse é o caso em que a linha de ação da força é paralela à distância até o ponto O .

E a outra possibilidade acontece quando o vetor está na mesma direção e sentido oposto, para encontrá-la é só somar 180 ° :

α 2 = 36,9 ° + 180 ° = 216,9   °

Passo 4

(c) E o caso máximo acontece quando a linha de ação da força é perpendicular à distância até o ponto O . Aqui podemos deixar o teorema de Varignon de lado:

Nosso objetivo é calcular o θ m á x , que é o ângulo formado pela força com a distância até o ponto O no caso em que essas duas direções são perpendiculares.

Pela imagem podemos escrever a seguinte relação:

θ m á x = 90 ° + α

Mas o ângulo α pode ser encontrado da seguinte forma:

α = arctan ⁡ 6 8 = 36,9 °

E então:

θ m á x = 90 ° + α

α = 90 ° + 36,9 ° = 126,9 °

E a outra possibilidade acontece quando o vetor está na mesma direção e sentido oposto, para encontrá-la é só somar 180 ° :

α 2 = 126,9 ° + 180 ° = 306,9 °

Resposta

(a) M = 33,5   N m

(b) θ = 36,9 ° ou θ = 216,9 °

(c) θ = 126,9 ° ou θ = 306,9 °

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