Enunciado

(a) Calcule o trabalho feito de D a O para a força P do Problema 13.82 por integração ao longo da diagonal do cubo. (b) Usando o resultado obtido na resposta da parte b do Problema 13.82, verifique que o trabalho feito pela força conservativa ao longo da trajetória fechada OABDO é zero.

Passo 1

Podemos escrever que:

P x = ∂ V ∂ x

P x = ∂ - x 2 + y 2 + z 2 1 2 ∂ x

P x = x x 2 + y 2 + z 2 1 / 2

Com relação a y , temos:

P y = ∂ V ∂ y

P y = ∂ - x 2 + y 2 + z 2 1 2 ∂ y

P y = y x 2 + y 2 + z 2 1 / 2

E com relação a z , temos:

P z = ∂ V ∂ z

P z = ∂ - x 2 + y 2 + z 2 1 2 ∂ z

P z = z x 2 + y 2 + z 2 1 / 2

Sendo estes os componentes de P .

Passo 2

Digamos que r = x i + y j + z k . Temos que:

d r = d x i + d y j + d z k

Temos que P = x i + y j + z k x 2 + y 2 + z 2 1 / 2 , portanto:

U O D = ∫ O D P ⋅ d r

Ao longo da diagonal, temos que x = y = z , portanto:

P d r = 3 x 3 x 2 1 2

U O D = ∫ 0 a 3 d x

U O D = 3 a

Passo 3

O trabalho realizado por esta força sobre o caminho é dado por:

U O A B D O = U O A + U A B + U B D + U D O

Do exercício anterior, já sabemos que:

U O A + U A B + U B D = a 3

Portanto:

U O A B D O = a 3 + U D O

Já sabemos que o trabalho realizado de O para D vale a 3 portanto o inverso será:

U D O = - a 3

Logo:

U O A B D O = a 3 + - a 3

U O A B D O = 0

Que corrobora a proposição de que o trabalho em um ciclo é nulo.

Resposta

a )   U O D = 3 a

b ) U O A B D O = 0

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