Enunciado

Para o carregamento mostrado nas figuras, determine ( a ) a equação da linha elástica para a viga em balanço A B , ( b ) a deflexão da extremidade livre e ( c ) a inclinação na extremidade livre.

Passo 1

Fala aí, galerinha. Tudo bem com vocês? Bora pra fazer uma questão de mecânica.

Para determinarmos o que a questão nos pede, vamos considerar a reação no ponto B como redundante e esboçar o DCL para este caso, temos:

Em seguida, vamos utilizar a equação de momento no ponto k para determinarmos a equação para o momento fletor:

∑ M k = 0 M - M 0 = 0 M = M 0

Com isso, podemos substituir esta equação que encontramos na equação diferencial da linha elástica. Ela é dada por:

E I d 2 y d x = M

Substituindo:

E I d 2 y d x 2 = M 0

Agora, considerando a rigidez à flexão constante, vamos integrar esta equação duas vezes, para obtermos, respectivamente, a equação para a força cortante e a equação da linha elástica. Integrando, temos:

E I d y d x = M 0 x + C 1

Integrando mais uma vez:

E I y = 1 2 M 0 x 2 + C 1 x + C 2

Passo 2

O próximo passo para encontrarmos a equação da linha elástica é determinarmos as constantes. Para isso, vamos utilizar as condições de contorno. São elas:

x = L → d y d x = 0 x = L → y = 0

Ou seja, quando x está no ponto B , a força cortante é nula. E também, no mesmo ponto, a equação para linha elástica é igual a 0 . Com isso, vamos substituir estas condições nas respectivas equações para determinarmos as constantes. Para a primeira:

d y d x = M 0 L + C 1 = 0 C 1 = - M 0 L

E para a segunda condição, temos:

y = 1 2 M 0 ( L ) 2 + C 1 ( L ) + C 2 = 0 C 2 = 1 2 M 0 L 2

Com as constantes definidas, basta as substituirmos na equação que encontramos anteriormente. Fica assim:

E I y = 1 2 M 0 x 2 + C 1 x + C 2 y = M 0 2 E I ( x 2 - 2 L x + L 2 )

Esta é a nossa equação para a linha elástica.

Passo 3

Em seguida, para determinarmos a deflexão da extremidade livre basta utilizarmos a equação para a linha elástica que encontramos no item anterior e substituirmos no ponto em que a extremidade está livre, neste caso, em x = 0 . Assim, substituindo:

y = M 0 2 E I x 2 - 2 L x + L 2 y A = M 0 2 E I 0 2 - 2 L 0 + L 2 y A = M 0 L 2 2 E I

Passo 4

Por fim, para determinarmos a a inclinação na extremidade livre vamos utilizar a equação para a força cortante e substituirmos no ponto indicado. Neste caso, em x = 0 . Portanto:

E I d y d x = M 0 x + C 1 d y d x = - M 0 E I L - x d y d x = - M 0 E I L - 0 θ A = M 0 L E I

Isso é tudo, pessoal! Bora zerar esse livro.

Resposta

y = M 0 2 E I ( x 2 - 2 L x + L 2 )

y A = M 0 L 2 2 E I

θ A = M 0 L E I

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