Enunciado

Para a viga com o carregamento mostrado, determinar:

  1. A reação em A

Passo 1

Para usarmos as funções singulares devemos fazer uma mudança para facilitar o nosso cálculo, assim, podemos trabalhar com a seguinte viga:

Separando por regiões temos:

Assim temos que os momentos vão ser dados por:

M 1 = R A x - 40 x x 2 = R A x - 20 x 2

M 2 = R A x + 40 < x - 1,8 > < x - 1,8 > 2 = R A x + 20 < x - 1,8 > 2

E assim podemos definir o nosso momento fletor como sendo:

M x = R A x - 20 x 2 + 20 < x - 1,8 > 2

E esse momento que iremos usar na nossa equação, então vamos porá o próximo passo.

Passo 2

Sabemos que a equação que iremos relacionar a integração é dada por:

E I d 2 y d x 2 = M x = R A x - 20 x 2 + 20 < x - 1,8 > 2

Integrando duas vezes teremos que:

E I θ = R A x 2 2 - 20 x 3 3 + 20 3 < x - 1,8 > 3 + C 1

E I y = R A x 3 6 - 20 x 4 12 + 20 12 < x - 1,8 > 4 + C 1 x + C 2

E sabemos que as condições de contorno vão ser dadas por:

E assim podemos descobrir as nossas incógnitas.

Passo 3

Olhando cada uma das condições de contorno, vamos ter que:

  • y 0 = 0
  • Para o ponto inicial, consideramos as equações singulares iguais a zero por elas não estarem no intervalo que estamos, assim, podemos determinar que:

    E I y = R A x 3 6 - 20 x 4 12 + 20 12 < x - 1,8 > 4 + C 1 x + C 2

    0 = R A 0 3 6 - 20 × 0 4 12 + C 1 0 + C 2

    C 2 = 0

  • θ 3 = 0
  • Aqui usamos a equação inteira, assim vamos ter que:

    E I θ = R A x 2 2 - 20 x 3 3 + 20 3 < x - 1,8 > 3 + C 1

    0 = R A 3 2 2 - 20 × 3 3 3 + 20 3 ( 3 - 1,8 ) 3 + C 1

    0 = 4,5 R A - 180 + 11,52 + C 1

    0 = 4 , 5 R A - 168,48 + C 1

  • y 3 = 0

Aqui usamos a equação inteira, assim vamos ter que:

E I y = R A x 3 6 - 20 x 4 12 + 20 12 < x - 1,8 > 4 + C 1 x + C 2

0 = R A 3 3 6 - 20 × 3 4 12 + 20 12 < 3 - 1,8 > 4 + C 1 3 + 0

0 = 4,5 R A - 135 + 3,456 + C 1 3 + 0

0 = 4 , 5 R A - 131,544 + C 1 3

Assim temos o seguinte sistema de equações:

4,5 R A - 168,48 + C 1 = 0 4,5 R A - 131,544 + C 1 3 = 0

Resolvendo o nosso sistema, temos que:

4,5 R A - 168,48 + C 1 = 0     ( × - 3 ) 4,5 R A - 131,544 + C 1 3 = 0

- 13,5 R A + 505,44 - 3 C 1 = 0 4,5 R A - 131,544 + C 1 3 = 0

9 R A = 373,896

R A = 41,5   k N

Resposta

  1. R A = 41,5   k N
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