Enunciado

Para o carregamento mostrado nas figuras, determine ( a ) a equação da linha elástica para a viga em balanço A B , ( b ) a deflexão da extremidade livre e ( c ) a inclinação na extremidade livre.

Passo 1

Fala, galera do RespondeAí. Beleza? Vamos para mais uma questãozinha do nosso livro de mecânica.

Primeiro, vamos considerar a reação no ponto B como redundante e esboçar o DCL para este caso, temos:

Em seguida, vamos utilizar a equação de momento no ponto k para determinarmos a equação para o momento fletor:

∑ M k = 0 w x x 2 +   M = 0 M = - 1 2 w x 2

Com isso, podemos substituir esta equação que encontramos na equação diferencial da linha elástica. Ela é dada por:

E I d 2 y d x = M

Substituindo:

E I d 2 y d x 2 = - 1 2 w x 2

Agora, considerando a rigidez à flexão constante, vamos integrar esta equação duas vezes, para obtermos, respectivamente, a equação para a força cortante e a equação da linha elástica. Integrando, temos:

E I d y d x = - 1 6 w x 3 + C 1

Integrando mais uma vez:

E I y = - 1 24 w x 4 + C 1 x + C 2

Passo 2

O próximo passo para encontrarmos a equação da linha elástica é determinarmos as constantes. Para isso, vamos utilizar as condições de contorno. São elas:

x = L → d y d x = 0 x = L → y = 0

Ou seja, quando x está no ponto B , a força cortante é nula. E também, no mesmo ponto, a equação para linha elástica é igual a 0 . Com isso, vamos substituir estas condições nas respectivas equações para determinarmos as constantes. Para a primeira:

d y d x = - 1 6 w L 3 + C 1 = 0 C 1 = 1 6 w L 3

E para a segunda condição, temos:

y = - 1 24 w L 4 + C 1 ( L ) + C 2 = 0 C 2 = - 3 24 w L 4

Com as constantes definidas, basta as substituirmos na equação que encontramos anteriormente. Fica assim:

E I y = - 1 24 w x 4 + 1 6 w L 3 - 3 24 w L 4 y = - w 24 E I ( x 4 - 2 L 3 x + 3 L 4 )

Esta é a nossa equação para a linha elástica.

Passo 3

Em seguida, para determinarmos a deflexão da extremidade livre basta utilizarmos a equação para a linha elástica que encontramos no item anterior e substituirmos no ponto em que a extremidade está livre, neste caso, em x = 0 . Assim, substituindo:

y = - w 24 E I ( x 4 - 2 L 3 x + 3 L 4 ) y A = - w 24 E I ( 0 4 - 2 L 3 ( 0 ) + 3 L 4 ) y A = - w L 4 8 E I

Passo 4

Por fim, para determinarmos a a inclinação na extremidade livre vamos utilizar a equação para a força cortante e substituirmos no ponto indicado. Neste caso, em x = 0 . Portanto:

E I d y d x = - 1 6 w x 3 + C 1 d y d x = - 1 6 w x 3 + 1 6 w L 3 d y d x = - 1 6 w ( 0 ) 3 + 1 6 w L 3 θ A = w L 4 8 E I

Isso é tudo, pessoal! Bora zerar esse livro.

Resposta

y = - w 24 E I ( x 4 - 2 L 3 x + 3 L 4 )

y A = - w L 4 8 E I

θ A = w L 3 6 E I

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Para a viga com o carregamento mostrado, determinar:A Deflexão no ponto B. usar E = 200 G P a
Para a viga com o carregamento mostrado, determinar:A Deflexão no ponto B. usar E = 200 G P a
Para a viga com o carregamento mostrado, determinar:A reação em A
Para a viga com o carregamento mostrado, determinar:A reação em A
Para a viga com o carregamento mostrado, determinar:O momento fletor em D