Enunciado

Para os carregamentos mostrados, determinar:

  1. A equação da curva elástica para a viga AB;
  2. A deflexão da extremidade livre;
  3. A declividade da extremidade.

Passo 1

Fala meu povo maravilhoso, estamos começando mais um capitulo e agora vamos resolver problemas que envolvem deslocamentos, ou como os professores gostam de chamar, deflexões, e por enquanto só vamos ver deflexões nas vigas. Para isso temos que saber o seguinte, a nossa equação, que determina as deflexões em uma viga, é dada por:

E I d 4 y d x 4 = - ω

E ela pode parecer um monstro em uma primeira olhada, mas ela é muito simples e fácil de trabalhar.

  • O que é o y?
    • Y é a nossa deflexão, ou deslocamento, e se Integrarmos ele 4 vezes, teremos 4 incógnitas, mas em compensação, vamos ter a equação do deslocamento.
    • Se integrarmos ele 3 vezes, teremos não mais a equação do deslocamento, mas da inclinação
    • Se integrarmos 2 vezes teremos os momentos fletores.
    • Se integrarmos uma, teremos o cortante.

  • O que é o x?
  • O x é bem simples, ele é o que define os pontos da nossa viga, ou seja, ele varia entre 0 e L, no nosso exemplo ele vai do ponto A até o ponto B.

  • O que é o ω ?
  • Esse é a equação do carregamento, e ela é bem tranquila de representar.

    • Carregamento concentrado
    • Se tivermos cargas concentradas, seja de momento ou de força o nosso carregamento na equação será zero:

      ω = 0

    • Carregamento distribuído
    • Se o carregamento for distribuído, então basta usarmos ele diretamente na equação, ou seja, basta fazermos:

      ω = q

    • Carregamento triangular

    Se a carga for triangular, aí vai depender da posição, sendo assim podemos ter os dois casos acima:

    ω = q x L   ( c r e s c e n t e )

    ω = - q x L + q   ( d e c r e s c e n t e )

    E por fim a ultima coisa que precisamos saber são as condições de contorno, que são o que vai definir as incógnitas da nossa equação. As condições de contorno vão ser dadas por dois grupos:

  • condições de contornos essenciais:
  • essas condições são ligadas a deslocamentos e rotações, e olhando cada apoio vamos ter que:

  • condições de contornos naturais:
  • essas condições são ligadas a momentos e cortantes e variam de caso para caso, e são condições que podem ser determinadas diretamente na estrutura, por exemplo, apoios de primeiro e segundo gênero não impedem rotações, ou seja, sem precisar fazer nenhuma conta, já sabemos de antemão que nos apoios o momento vai ser igual a zero, mas podemos ver alguns outros exemplos aqui embaixo:

    Agora que já sabemos o que os temos da nossa fórmula significam, vamos resolver ela, você vai ver que é algo muito tranquilo de ser feito, e vai sair daqui satisfeito em saber que é muito de boas, vamos nessa?

    Passo 2

    Vamos, lá, no nosso problema, a estrutura dada é:

    Como a nossa carga é distribuída, independente que essa carga seja no meio, ou no final ou no começo, teremos que:

    ω = q x L

    Substituindo na nossa equação, teremos que:

    E I d 4 y d x 4 = - q x L

    Se integramos a primeira vez, vamos obter a primeira constante do nosso problema:

    E I d 3 y d x 3 = - q x 2 2 L + C 1

    E vale lembrar que como já definimos, a primeira integral é o cortante, assim temos que:

    V = E I d 3 y d x 3 = - q x 2 2 L + C 1

    Se integrarmos novamente, teremos a nossa segunda incógnita:

    E I d 2 y d x 2 = - q x 3 6 L + C 1 x + C 2

    E sabemos que esse é o nosso momento fletor:

    M = E I d 2 y d x 2 = - q x 3 6 L + C 1 x + C 2

    Se integramos novamente, teremos a nossa terceira incógnita:

    E I d y d x = - q x 4 24 L + C 1 x 2 2 + C 2 x + C 3

    E essa é a equação da rotação da nossa viga:

    θ = E I d y d x = - q x 4 24 L + C 1 x 2 2 + C 2 x + C 3

    E por fim, a ultima integral vai dar o deslocamento e a nossa quarta incógnita:

    E I y = - q x 5 120 L + C 1 x 3 6 + C 2 x 2 2 + C 3 x + C 4

    Tendo a equação, basta olharmos as condições de contorno, e com elas podemos determinar a solução do nosso problema, vamos nessa? Já está acabando.

    Passo 3

    Para as condições, iremos olhar os extremos da viga, e é importante ver o seguinte, sempre a soma das condições de contorno deve ser igual ao número de incógnitas, ou seja, se temos 4 incógnitas, temos que ter 4 condições, podendo ser qualquer combinação de essenciais com naturais ( 1 natural e 3 essenciais, ou duas essenciais e duas naturais, ou 4 essenciais) não importa, no fim o total tem que ser 4, sendo assim teremos que:

    Ou seja, temos 4 condições, e com isso podemos resolver o nosso problema, sempre começando do menor número de incógnitas para o maior, sendo assim vamos ter que:

  • V = 0 → n a   p o s i ç ã o   x = L
  • V = E I d 3 y d x 3 = - q x 2 2 L + C 1

    V = 0 = - q L 2 2 L + C 1

    C 1 = q L 2

    Definido a primeira incógnita, vamos para a próxima:

  • M = 0 → n a   p o s i ç ã o   x = L
  • M = E I d 2 y d x 2 = - q x 3 6 L + C 1 x + C 2

    Já sabemos quanto vale C 1 .

    M = - q x 3 6 L + q L 2 x + C 2

    E sabemos que M = 0 quando x = L

    0 = - q L 3 6 L + q L 2 L + C 2

    0 = - q L 2 6 + q L 2 2 + C 2

    C 2 = - q L 2 3

  • θ = 0 → n a   p o s i ç ã o   x = 0
  • θ = E I d y d x = - q x 4 24 L + C 1 x 2 2 + C 2 x + C 3

    Substituindo temos que:

    0 = - q 0 4 24 L + C 1 0 2 2 + C 2 0 + C 3

    C 3 = 0

  • y = 0 → n a   p o s i ç ã o   x = 0

E I y = - q x 5 120 L + C 1 x 3 6 + C 2 x 2 2 + C 3 x + C 4

Substituindo teremos que:

0 = - q 0 5 120 L + C 1 0 3 6 + C 2 0 2 2 + C 3 0 + C 4

C 4 = 0

E assim determinamos todas as incógnitas do nosso problema, sendo assim basta substituirmos na nossa equação final.

E I y = - q x 5 120 L + C 1 x 3 6 + C 2 x 2 2 + C 3 x + C 4

E I y = - q x 5 120 L + q L 2 x 3 6 - q L 2 3 x 2 2 + 0 x + 0

E I y = - q x 5 120 L + q L x 3 1 2 - q L 2 x 2 6

E I y = - q 120 ( x 5 L - 10 L x 3 + 20 L 2 x 2 )

y = - q 120 E I ( x 5 L - 10 L x 3 + 20 L 2 x 2 )

E assim resolvemos o nosso item a)

Passo 2

O item b) quer saber o deslocamento na extremidade da barra, ou seja, que saber o deslocamento em x = L , assim temos que:

y = - q 120 E I ( x 5 L - 10 L x 3 + 20 L 2 x 2 )

y = - q 120 E I ( L 5 L - 10 L L 3 + 20 L 2 L 2 )

y = - q 120 E I ( L 4 - 10 L 4 + 20 L 4 )

y = - 11 q L 4 120 E I

No item c) queremos saber a rotação, para isso sabemos que a equação é dada por:

θ = E I d y d x = - q x 4 24 L + C 1 x 2 2 + C 2 x + C 3

E I d y d x = - q x 4 24 L + q L 2 x 2 2 - q L 2 3 x + 0

Substituindo na posição x = L

E I d y d x = - q L 4 24 L + q L 2 L 2 2 - q L 2 3 L

E I d y d x = - q L 3 24 + q L 3 4 - q L 3 3

d y d x = θ

E I θ = - q L 3 24 + q L 3 4 - q L 3 3

θ = - 3 q L 3 24 E I

θ = - q L 3 8 E I

E assim resolvemos o nosso problema, vamos para o próximo?

Resposta

  1. y = - q 120 E I ( x 5 L - 10 L x 3 + 20 L 2 x 2 )
  2. y = - 11 q L 4 120 E I
  3. θ = - q L 3 8 E I
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