Enunciado

O carrinho de massa 2 m é livre para se mover ao longo dos trilhos horizontais e transporta as duas esferas, cada uma com massa m , montadas sobre as hastes de comprimento l e massa desprezível. O eixo ao qual as hastes são presas está montado no carrinho e é livre para girar. Se o sistema é liberado a partir do repouso com as hastes na posição vertical onde θ = 0 , determine a velocidade v x do carrinho e a velocidade angular θ ˙ das hastes no instante em que θ = 180 ° . Considere o carrinho e as esferas como partículas e despreze qualquer atrito.

Passo 1

Como não há atuação de forças externas na direção de x , a quantidade de movimento se conservará nessa direção. Quando θ = 180 ° , as hastes estarão na vertical (para baixo), então a velocidade de rotação das esferas, de módulo r θ ˙ = l θ ˙ , será inteiramente na direção x , mas com sentido oposto.

Ou seja, o carrinho terá velocidade v x , mas as esferas terão velocidade v x - l θ ˙ :

Δ G x = 0

2 m v x + 2 m v x - l θ ˙ = 0

2 v x = l θ ˙

Mais tarde, essa equação será útil.

Passo 2

Através da conservação de energia mecânica, podemos obter outra equação:

Δ T + Δ V g = 0

Sabendo que a energia cinética inicial é nula, temos:

Δ T = 1 2 2 m v x 2 + 1 2 2 m v x - l θ ˙ 2

Δ T = m 2 v x 2 - 2 l θ ˙ v x + l 2 θ ˙ 2

Para o cálculo da variação de energia potencial gravitacional, consideremos o nível do carrinho como a altura zero:

Δ V g = 2 m g Δ h = 2 m g - l - l

Δ V g = - 4 m g l

Passo 3

Substituindo as expressões obtidas na equação de conservação de energia, obtemos:

m 2 v x 2 - 2 l θ ˙ v x + l 2 θ ˙ 2 - 4 m g l = 0

2 v x 2 - 2 l θ ˙ v x + l θ ˙ 2 = 4 g l

No entanto, já sabemos que l θ ˙ = 2 v x , logo,

2 v x 2 - 2 2 v x v x + 2 v x 2 = 4 g l

2 v x 2 = 4 g l

v x = 2 g l

E também:

θ ˙ = 2 v x l = 2 2 g l l

θ ˙ = 2 2 g l

Resposta

v x = 2 g l

θ ˙ = 2 2 g l

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