Enunciado

O colar G de 48   k g é abandonado da posição mostrada e deixado cair sobre a blaca B D F , que está fixa a uma barra de aço C D , de 20   m m de diâmetro, e a duas outras barras de aço A B e E F , de 15   m m de diâmetro. Sabendo-se que o tipo de aço usado apresenta E = 200   G P a e σ e = 180   M P a , determinar a maior distância h admissível.

Passo 1

Como vocês estão, pessoas bonitas? Bora fazer uma questão de carregamento produzido por impacto pra você perceber que consegue arrasar em resistência dos materiais? Então bora!

Essa questão quer que a gente calcule a altura h máxima que faz com que o colar G transfira uma energia potencial U m às barras igual à máxima energia que elas suportam!

U m = m g h + x m       ⟹       h = U m m g - x m

onde m é a massa do colar, g é a aceleração da gravidade e x m é a deformação das barras causada pelo impacto do colar.

Ainda não conhecemos o valor de deformação das barras x m . No entanto, todas as barras apresentam a mesma deformação por estaremos unidas. Podemos então calcular esse valor de deformação x m aplicando a Lei de Hooke em uma das duas barras finas iguais A B e E F .

x m = P m L E A B A A B

onde P m é a máxima força que as barras mais finas A B e E F aguentam. Ela é calculada, multiplicando a tensão de resistência ao escoamento σ e pela área da seção transversal de uma das barras ( A A B ou A E F ). Agora só falta achar U m para calcular h . Esse valor é encontrado, somando as energias U A B , U C D e U E F que cada barra é capaz de absorver.

U m = U A B + U C D + U E F

U m = P m 2 L 2 E A B A A B + P M 2 L 2 E C D A C D + P m 2 L 2 E E F A E F

onde P M é a máxima força que a barra do meio mais grossa C D aguenta. Ela é calculada, multiplicando a tensão σ e pela área da seção transversal A C D da barra C D .

A figura abaixo mostra os dados que temos para achar h .

Com todas essas informações em mãos, vamos começar as contas.

Passo 2

Iniciamos os cálculos encontrando os valores de P m e P M .

Os dois são calculados multiplicando σ e pela área da seção transversal de cada barra.

Logo, precisamos calcular as áreas A A B , A C D e A E F antes de calcular as forças.

Para converter essas áreas de m m 2 para m 2 , multiplicamos elas por 10 - 6 .

A A B = π d A B 2 4   ⟹   A A B = π × 15 2 4   ⟹   A A B = 176,71   m m 2   ⟹   A A B = 176,71 × 10 - 6   m 2

A C D = π d C D 2 4   ⟹   A C D = π × 20 2 4   ⟹   A C D = 314,16   m m 2   ⟹   A C D = 314,16 × 10 - 6   m 2

A E F = A A B = 176,71 × 10 - 6   m 2

Antes de calcular as forças, é necessário dizer que a tensão σ e tem que ser convertida de M P a para P a , multiplicando σ e por 10 6 .

Substituindo essas áreas nas equações de P m e P M , achamos:

P m = σ e × A A B       ⟹       P m = 180 × 10 6 × 176,71 × 10 - 6       ⟹       P m = 31807,8   N

P M = σ e × A E F       ⟹       P M = 180 × 10 6 × 314,16 × 10 - 6       ⟹       P M = 56548,8   N

Passo 3

Com P m e P M somos capazes de achar U m e x m pelas fórmulas abaixo.

No entanto, temos que nos ligar para converter E A B , E C D e E E F de G P a para P a , multiplicando esses três módulos de elasticidade por 10 9 .

U m = P m 2 L 2 E A B A A B + P M 2 L 2 E C D A C D + P m 2 L 2 E E F A E F

U m = 31807,8 2 × 2,5 2 × 200 × 10 9 × 176,71 × 10 - 6 + 56548,8 2 × 2,5 2 × 200 × 10 9 × 314,16 × 10 - 6 +

+ 31807,8 2 × 2,5 2 × 200 × 10 9 × 176,71 × 10 - 6

U m = 135,18   J

Substituindo P m na equação de x m , achamos:

x m = P m L E A B A A B       ⟹       x m = 31807,8 × 2,5 200 × 10 9 × 176,71 × 10 - 6       ⟹       x m = 0,00225   m

Com esses dois termos, podemos achar h no próximo passo.

Passo 4

Para achar h é só substituir x m e U m na equação de h do passo 1.

h = U m m g - x m       ⟹       h = 135,18 48 × 9,81 - 0,00225       ⟹       h = 0,285   m

Boaaaaa! Achamos h e terminamos a questão!

Resposta

h = 0,285   m

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