Enunciado

Uma coluna de aço biarticulada, de 100x100m de seção transversal é apoiada como mostrado no Prob. 11.25. Sabendo-se que inicialmente a força na coluna é zero, determinar o comprimento L necessário, se a flambagem deve ocorrer para um aumento de temperatura de 25 ° C   Usar E=200GPa e α =11,7x10^-6/ ° C .

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Passo 1

Faala aí, se você veio após o problema anterior já conhece como funciona aqui. Se não veio temos uma flambagem causada por variação de temperatura. Vou te explicar direitinho aqui a gente precisa encontrar uma relação entre L e a galera que a gente conhece que nos foi fornecida no enunciado então bora pra análise.

A coluna inicialmente não tinha nenhuma força aplicada mas ao receber um incremento de temperatura sofre flambagem. O que rolou aqui foi o seguinte, a coluna foi aquecida e se dilatou, lembra lá da física? Essa dilatação térmica gerou um deslocamento axial δ .

Porém os apoios não permitem que isso aconteça e reagiram ao deslocamento com um esforço axial para deslocar o mesmo no sentido oposto, o que provocou a flambagem.

Se esse peso indicado na figura é o que causa a flambagem podemos dizer que:

P = P C R

Com isso podemos usar a fórmula da dilatação linear e relacionar o comprimento L que a gente quer com todos os dados que a gente tem.

Passo 2

Vamos a fórmula da dilatação linear, temos que:

δ = L 0 α ∆ T

Onde L 0 é o comprimento inicial da coluna, α é o coeficiente de dilatação térmica e ∆ T é a variação de temperatura.

A gente tem também do deslocamento axial que:

δ = P L E A

E como foi falado os apoios não permitem deslocamento sendo assim, os dois deslocamentos são idênticos um tenta expandir e o outro comprime e assim:

L 0 α ∆ T = P L E A

Rearrumando:

∆ T = P L E A L 0 α

Onde:

P = P C R

L 0 = L

E

A = d 2

Substituindo:

∆ T = P C R L E d 2 L α = P C R E d 2 α

Ainda não terminado precisamos abrir a fórmula do peso crítico para encontrar uma relação que nos dê L em função da galera que a gente tem.

Passo 3

A fórmula do peso crítico é dada por:

P C R = π 2 E I L 2

Nesse caso de seção quadrada temos:

I = d 4 12

Daí fica:

P C R = ( π 2 E d 4 ) 12 L 2    

Voltando a nossa equação:

∆ T = P C R E d 2 α

Substituímos o peso crítico e enfim encontramos a relação em que todos os dados são conhecidos.

∆ T = π 2 E d 4 12 L 2 × E d 2 α = π 2 d 2 12 L 2 α

Isolando L, temos:

L = π 2 d 2 12 ∆ T α

E substituindo:

∆ T = 25 ° C

α = 11,7 x 10 - 6 / ° C

d = 100 m m

Temos:

L = π 2 × 100 2 12 × 25 × 11,7 × 10 - 6

E aí:

L = 5303 m m

E em metros:

L = 5,303 m

Resposta

L = 5,303 m

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