Enunciado

O cone rola em um círculo e gira em torno do eixo z a uma taxa constante ω z = 8   r a d / s . Determine a velocidade e a aceleração angular do cone se ela rola sem deslizar. Além disso, qual é a velocidade e a aceleração no ponto A ?

Passo 1

O DCL abaixo mostra as velocidades e acelerações presentes no problema.

No instante mostrado na figura, o sistema fixo X Y Z coincide com o sistema rotativo x y z . Uma vez que o disco rola sem escorregar, sua velocidade angular ω é sempre direcionada para o eixo y . Logo,

ω = ω s + ω z

- ω j = - ω s c o s 45 ° j - ω s s e n 45 ° k + 8 k

Calculando na componente k:

0 = - ω s s e n 45 ° + 8

ω s = 11,31   r a d / s

E na componente j:

- ω = - 11 , 3 1 c o s 45 °

ω = 8   r a d / s

Portanto,

ω = [ - 8 j ]   r a d / s

Passo 2

Uma vez que ω encontra-se sempre no plano X Y , nota-se que ω tem uma direção constate em relação ao sitema x y z , se esse estiver girando em torno de ω z . Assim,

α = ω ˙ = ω ˙ x y z + ω z × ω = 0 + 8 k × ( - 8 j ) = 64 i   r a d / s 2

Passo 3

Como r A = 0,16 c o s 45 ° k   m , a velocidade no ponto A será

v A = ω × r A = - 8,00 j × 0,16 c o s 45 ° k = - 0,905 i   m / s

E a aceleração no ponto A é igual a

a A = α × r A + ω × ( ω × r A )

a A = 64 i × 0,16 c o s 45 ° k + - 8 j × [ - 8 j × ( 0,16 c o s 45 ° k ) ]

a A = - 7,24 j - 7,24 k   m / s 2

Resposta

Portanto, a velocidade e a aceleração angular sem a roda deslizaré são iguais a [ - 8 j ]   r a d / s e 64 i   r a d / s 2 . E a velocidade e a aceleração no ponto A , no instante em que θ = 90 ° , são iguais a - 0,905 i   m / s   e - 7,24 j - 7,24 k   m / s 2 , respectivamente.

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