Enunciado

O conjunto consiste em três discos A ,   B   e   C usados para suportar a carga de 140   k N . Determine o menor diâmetro d 1 do disco superior, o diâmetro d 2 do espaço entre os apoios e o diâmetro d 3 do orifício no disco inferior. A tensão de apoio admissível para o material é σ a d m a   =   350   M P a e a tensão de cisalhamento admissível é τ a d m = 125   M P a .

Passo 1

Fala aí bonitões, como é que vocês estão, tudo certo por aí? Espero que sim.

Vamos lá meu povo, pensar nesse probleminha aqui: nós queremos encontrar as dimensões dos diâmetros d 1 , d 2   e   d 3 indicados na figura e, para isso, devemos relacionar esses valores com os valores de tensão normal/cisalhamento admissíveis já que esses dados não foram fornecidos no enunciado de graça, não acha?

Pois bem, para isso vamos utilizar as equações dessas tensões mesmos. Essas equações são

τ a d m = P A → A = P τ a d m  

Analogamente para a tensão normal nós teremos

A = P σ a a d m

Passo 2

Já que a gente tem os valores das tensões admissíveis vamos observar os discos B   e   C e vamos assumir falha por cisalhamento, a começar pelo disco C de tal forma que obteremos

A = P τ a d m

Nossa área será a área lateral de um cilindro dada por

A l = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h = 2 π ⋅ d 2 ⋅ h = π ⋅ d ⋅ h

Assim, teremos

π ⋅ d 2 ⋅ h c = P τ a d m → d 2 = P τ a d m ⋅ 1 π ⋅ h c = 140 k N 125 M P a ⋅ 1 π ⋅ 10 m m = 35.65 m m

Já que estamos no disco C vamos continuar nele só que agora vamos supormos uma falha no rolamento desse disco e assim teremos

A = P σ a a d m

Nesse caso nossa área vai ser uma coroa circular com raio externo d 2 e raio interno d 3 , logo a área vai ser dada fazendo

π ⋅ r e x t 2 - r i n t 2 = π ⋅ d e x t 2 2 - d i n t 2 2 = π 4 ⋅ d e x t 2 - d i n t 2

Dessa forma, teremos

π 4 ⋅ ( d 2 2 - d 3 2 ) = P σ a a d m → ( d 2 2 - d 3 2 ) = ( 4 / π ) ⋅ P σ a a d m

- d 3 2 = 4 π ⋅ P σ a a d m - d 2 2 → d 3 2 = d 2 2 - 4 π ⋅ P σ a a d m

d 3 = d 2 2 - 4 π ⋅ P σ a a d m = 35,65 m m 2 - 4 π ⋅ 140 k N 350 M P a ≈ 27,60 m m

Passo 3

Agora é só partir pro abraço, porque o exercício está praticamente finalizado, mas a gente ainda precisa terminar, né? Então vamos lá

Para encontrarmos o diâmetro 1 vamos supor uma falha como a anterior, só que agora para o disco B , dessa forma vamos ter

A = P σ a a d m → π 4 ⋅ ( d 1 2 ) = P σ a a d m

d 1 = 4 π ⋅ P σ a a d m = 4 π ⋅ 140 k N 350 M P a ≈ 22.57   m m

Pronto, acabou esse problema.

Resposta

d 1 = 22.57 m m

d 2 = 35.65 m m

d 3 = 27.6 m m

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