Enunciado

Considere um corpo rígido de forma arbitrária, que é fixado em seu centro de massa 0 e submetido a nenhuma força além de seu peso e a reação do suporte em 0. (a) Prove que o momento angular H O do corpo sobre o Ponto fixo 0 é constante em magnitude e direção, que a energia cinética T do corpo é constante, e. que a projeção ao longo de H O da velocidade angular do corpo é constante.

(b) Mostre que a ponta do vetor ω descreve uma curva em um plano fixo no espaço (chamado plano invariável), que é perpendicular a H O e a uma distância 2 T H o . (c) Mostre isso em relação a um quadro de referência anexado ao corpo e coincidindo com seus eixos principais de inércia, a ponta do vetor ω parece descrever uma curva em um elipsóide da equação

I x ω x 2 + I y ω y 2 + I z ω z 2 = 2 T =  constant e

O elipsóide (denominado elipsóide poinsot) está rigidamente ligado ao corpo e tem a mesma forma que o elipsóide de inércia, mas tem um tamanho diferente.

Passo 1

E ai gurizada partiu mais unma questão de resmat vem comigo :D

(a) da eq(18.27) Σ M o = H ˙ o

Uma vez que Σ M O = 0 , H ˙ o = 0

H o =  constant e (1)

Conservação de energia T + V =  constant e

Uma vez que V = 0

T =  constant e (2)

Para um corpo rígido rodando sobre ponto O

T = 1 2 I x ω x 2 + 1 y ω y 2 + I z ω z 2

H o = I x ω x i + I y ω y j ˙ + I z ω z k

ω = ω x i + ω y j + ω z k

H o ⋅ ω = I x ω x 2 + I y ω y 2 + I z ω z 2 = 2 T

Deixe β ser o ângulo entre os vetores H O   and   ω

H o ⋅ ω = H 0 ω c o s ⁡ β

A projeção ω  ao longo  H o é ω c o s ⁡ β

ω c o s ⁡ β = 2 T H O =  constant e

ω c o s ⁡ β =  constant e (3)

Passo 2

(b)cia perpendicular do plano invariável. Esta distância é igual a 2 T H o .

(c) Para um referencial fixado ao corpo, os momentos de inércia em relação aos eixos ortogonais da estrutura não mudam.

I x ω x 2 + I y ω y 2 + I z ω z 2 = 2 T (4)

Deixe a 1 = 2 T l x , b 1 = 2 T l y , c 1 = 2 T I z (5)

Então ω x 2 a l 2 + ω y 2 b 1 2 + ω z 2 c 1 2 = 1 (6)

Que é a equação de um elipsóide

Resposta

a   H O =  constant e  

T =  constant e

ω c o s ⁡ β = c o n s t a n t e

(b) 2 T H O

(c) ω x 2 a 1 2 + ω y 2 b 1 2 + ω z 2 c 1 2 = 1

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