Enunciado

Construa os diagramas de cortante e de momento para a viga, que sustenta a carga uniforme de 500 N por metro de comprimento da viga, distribuída ao longo da seção média. Determine o momento fletor máximo e sua posição.

Passo 1

Vamos calcular a força cortante V e o momento fletor M para cada pondo de distância x até A da viga. Pra isso faremos um cortes em pontos de coordenada x e resolveremos as condições equilíbrio para uma parte dela. Perceba que pela simetria, só precisamos calcular os valores para metade da viga, e definimos os valores para a outra metade espelhando a função em torno do meio ( x = 6 ) fazendo trocar o sinal de V e manter o sinal para M (pela convenção do sentido de V e M ).

Passo 2

Primeiro devemos achar as forças externas atuando na viga. Calculamos a resultante da distribuição de forças na viga pela área da região do diagrama:

R = 500 × 4 = 2000   N

Pela simetria, cada apoio deverá fazer para cima uma força de 1000 N.

Passo 3

Agora, para o cálculo de V e M , iremos separar a viga em duas regiões, uma entre 0 e 4 m que não sofre a carga das forças distribuídas, e a outra entre 4 e 6 m. Para a primeira região, fazemos um corte e observamos em diagrama de corpo livre:

Pelo equilíbrio em y , temos:

V x = 1000   N         ( x < 4 )

E para o equilíbrio dos momentos do ponto de coordenada x :

M x = 1000 x         ( x < 4 )

Passo 4

Agora vamos olhar para a região 4 < x < 6 . Agora já temos o efeito da distribuição das cargas em cima da viga:

A resultande da parte da distribuição de carga é:

R = 500 x - 4 = 500 x - 2000

Então achamos V pelo equilíbrio em y :

1000 - 500 x - 2000 - V = 0

⇒ 1000 - 500 x - V = 0

⇒ V x = - 500 x + 1000       ( 4 < x < 6 )

Para achar o momento, vemos que a resultante das cargas aplicaas fica no meio da parte de tamanho ( x - 4 ) . Então fazendo a soma dos momentos no ponto de coordenada x :

- 1000 x + 500 x - 2000 x - 4 2 + M = 0

⇒ - 1000 x + 500 x 2 - 2000 x - 2000 x + 8000 2 + M = 0

⇒ - 1000 x + 250 x 2 - 1000 x - 1000 x + 4000 + M = 0

⇒ M x = - 250 x 2 + 3000 x - 4000

Passo 5

Agora temos as expressões de V ( x ) e M ( x ) :

V x = 1000 x         ( x < 4 )

V x = - 500 x + 1000       ( 4 < x < 6 )

M x = 1000 x         x < 4

M x = - 250 x 2 + 3000 x - 4000     ( 4 < x < 6 )

Esboçamos essas funções e espelhamos em torno de x = 6 , trocando o sinal de V ( x ) :

Fica claro pelo gráfico que o máximo de M ocorre quando x = 6 . Então:

M m á x = - 250 6 2 + 3000 6 - 4000

= - 9000 + 18000 - 4000 = 5000   N ⋅ m

Resposta

M M á x = 5000   N ⋅ m

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Determine os diagramas da força cortante e o momento fletor para a viga.
Determine as forças normal e cortante e o momento fletor no ponto C .
Determine as forças normal e cortante e o momento fletor nos pontos E e D da viga composta por dois elementos.
Determine as forças normal e cortante e o momento fletor no ponto E .
Determine as forças normal e cortante e o momento fletor em uma seção que passa pelo ponto D . Considere w = 150N / m .