Enunciado

Consulte os Problemas 18.143 e 18.144.

(a) Mostre que a curva (chamada pc / bode) descrita pela ponta do vetor ω em relação a um referencial que coincide com os principais eixos de inércia do corpo rígido é definida pelas equações

I x ω x 2 + I y ω y 2 + I z ω z 2 = 2 T =  constant e (1)

I x 2 ω x 2 + I y 2 ω y 2 + I z 2 ω z 2 = H 0 2 =  constant e (2)

e que esta curva pode, portanto, ser obtida cruzando o elipsóide de Poinsot com o elipsóide definido pela Eq. (2)

(b) Mostre ainda, assumindo I x > I y > I z , que os pólos obtidos para vários valores de H0 têm as formas indicadas na figura.

(c) Usando o resultado obtido na Parte b, mostre que um corpo rígido sem nenhuma força pode girar em torno de um eixo centróide fixo se, e somente se, esse eixo coincidir com um dos principais eixos de inércia do corpo, e que o movimento será estável se o eixo de rotação coincidir com o eixo maior ou menor do elipsóide de Poinsot (z ou eixo na figura) e instável se coincidir com o intermediário. eixo (eixo y).

Passo 1

A equação (1) expressa a conservação de energia como mostrado na solução do Problema 18.141. É a equação do elipsóide de Poinsot.

Temos que:

a 1 = 2 T I x , b 1 = 2 T l y , c 1 = 2 T I z

Então

ω x 2 a 1 2 + ω y 2 b 1 2 + ω 2 2 c 1 2 = 1 (3)

Passo 2

Que é a equação de um elipsoide,? Vamos relembrar :D

A equação (2) expressa a constância de H O 2 = H O x 2 + H O y 2 + H O z 2 , o quadrado da magnitude do vetor momento angular.

Deixe a 2 = H 0 I x , b 2 = H 0 I y , c 2 = H 0 I z

Então ω x 2 a 2 2 + ω y 2 b 2 2 + ω z 2 c 2 2 = 1 (4)

Que é a equação do segundo elipsoide

Como as coordenadas ω x , ω y , ω z da ponta do vetor ω devem satisfazer ambas as Equações (I) e (2), a curva descrita pela ponta de a é a interseção dos dois elipsóides.

Passo 3

(b) Assuma que I x > I y > I z

Então a 1 < b 1 < c 1  e  a 2 < b 2 < c 2

Assim, para ambos os elipsóides, o eixo menor é direcionado ao longo do eixo x, o eixo intermediário ao longo do eixo y e o eixo principal ao longo do eixo z. No entanto, como a proporção do semieixo maior para o menor é l x i 4 para o elipsóide de Poinsot e é I x l z através do segundo elipsóide, o desvio de uma forma esférica é mais pronunciado no segundo elipsóide. O maior elipsóide do segundo tipo a estar em contato com o elipsóide de Poinsot ficará fora desse elipsóide e o tocará em seus pontos de intersecção com o eixo x, e o menor ficará dentro do elipsóide de Poinsot e o tocará em seus pontos de intersecção com o eixo z (ver desenho à esquerda). Todos os elipsóides do segundo tipo compreendidos entre estes dois cruzarão o elipsóide de Poinsot ao longo das curvas chamadas polhodes, como mostrado na figura à direita.

Passo 4

Observe que o elipsóide do segundo tipo, que tem o mesmo eixo intermediário do elipsóide de Poinsot, intercepta esse elipsóide ao longo de duas elipses cujos planos contêm o eixo y. Essas curvas não são polhodes, uma vez que a ponta de co não as descreverá, mas separam os polhodes em quatro grupos. Dois grupos circulam em torno do eixo menor (eixo x) e os outros dois em torno do eixo maior (eixo z). Se o corpo for configurado para girar em torno de um dos eixos principais, o elipsóide .Poinsot permanecerá em contato com o plano invariável no mesmo ponto (no eixo x, y ou z); a rotação é constante. Em qualquer outro caso, o ponto de contato estará localizado em um dos pólos, e a ponta de co começará a descrever esse polhode, enquanto o elipsóide de Poinsot rola no plano invariável. Uma rotação em torno do eixo menor ou maior (eixo x ou z) é estável. Se esse movimento for perturbado, a ponta do co se moverá para um polhode muito pequeno ao redor desse eixo e ficará perto de sua posição original. Por outro lado, uma rotação em torno do eixo intermediário (eixo y) é instável. Se esse movimento for perturbado, a ponta do co se moverá para um dos pólos localizados próximo a esse eixo e começará a descrevê-lo, saindo completamente de sua posição original e fazendo com que o corpo tombe.

Resposta

uma rotação em torno do eixo intermediário (eixo y) é instável. Se esse movimento for perturbado, a ponta do co se moverá para um dos pólos localizados próximo a esse eixo e começará a descrevê-lo, saindo completamente de sua posição original e fazendo com que o corpo tombe.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um disco homogêneo de massa me raio r é montado no eixo vertical AB. A normal para o disco em G forma um ângulo, β = 25 ∘ com o eixo. Sabendo que o eixo tem uma velocidade angular constante w, determi
Uma barra de seção transversal uniforme é usada para formar o eixo mostrado. Denotando por m a massa total do eixo e sabendo que o eixo gira com uma velocidade angular constante ω , determine (a) o mo
A placa triangular mostrada na figura tem uma massa de 7,5 kg e está soldada a um eixo vertical AB. Sabendo que a placa gira à taxa constante 12 rad/s, determine a quantidade de movimento angular em r
A placa triangular mostrada na figura tem uma massa de 7,5 kg eestá soldada a um eixo vertical AB. Sabendo que a placa gira à taxaconstante 12 rad /s, determine a quantidade de movimento angular em re
Para o conjunto do Problema, determine (a) a quantidade de movimento angular em relação a B, (b) o ângulo formado entre a quantidade de movimento angular e o eixo BA.