Enunciado

Uma corrente de comprimento l e massa m cai por meio de um pequeno buraco existente em uma placa. Inicialmente, quando y é muito pequeno, a corrente está em repouso. Em cada um dos casos apresentados, determine ( a ) a aceleração do primeiro elo A em função de y , ( b ) a velocidade da corrente quando o último elo dessa corrente passa por meio do furo. No caso 1 , considere que os elos individuais permanecem em repouso até caírem por meio do buraco; no caso 2 , considere que em qualquer instante todos os elos têm a mesma velocidade. Despreze o atrito.

Passo 1

Fala aí, galerinha. Tudo certo? Bora para mais uma questãozinha de Dinâmica:

ρ y v + ρ g y ∆ t = ρ y + ∆ y v + ∆ v ρ g y = ρ ∆ y ∆ t v + ρ y ∆ v ∆ t + ρ ∆ y ∆ v ∆ t

Aplicando o limite para ∆ t → 0 , temos:

ρ g y = ρ d y d t v + ρ y d v d t ρ g y = ρ d d t y v

Então, multiplicando os dois lados por y v :

ρ g y 2 v = ρ d d t y v 2

Em seguida, tomando v = d y / d t :

ρ g y 2 d y d t = ρ y v d d t ( y v )

Agora, vamos integrar os dois lados da equação, temos:

1 3 ρ g y 3 = 1 2 ρ y v 2 v 2 = 2 3 g y

O próximo passo é derivarmos esta equação em relação ao tempo. Vamos obter:

2 v d v d t = 2 3 g d y d t = 2 3 g v                 ( 1 )

Passo 2

Para encontrarmos a aceleração do primeiro elo A em função de y no caso 1 , temos:

a = d v d t = 1 3 g a = - 0,333 g

E a velocidade vai ser. Utilizando a relação que encontramos no passo anterior, temos:

v 2 = 2 3 g l v = 0,817

Passo 3

No caso 2 , vamos aplicar a conservação de energia. Fica assim:

T 1 = 0 V 1 = 0 T 2 = 1 2 m v 2 V 2 = - ρ g y y 2

Logo:

T 1 + V 1 = T 2 + V 2 v 2 = ρ g y 2 m = g y 2 l                       2

Resolvendo o sistema linear entre as equações ( 1 ) e 2 vamos encontrar que:

2 v d v d y = 2 g y l

E então, a aceleração vai ser:

a = v d v d y a = - g y l

Sabemos que:

y = l

Logo, a velocidade vai ser:

v = - g l

É isso, galerinha. Bora praticar mais pra ficar craque!

Resposta

a = - 0,333 g

v = 0,817

a = - g y l

v = - g l

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