Enunciado

O cursor A se desloca na ranhura horizontal com uma velocidade constante v por um curto intervalo de movimento. Determine a velocidade angular ω da barra A B em termos do deslocamento x A .

Passo 1

A velocidade angular ω será igual à derivada de θ no tempo, ω = θ ˙ , conforme mostra a figura a seguir:

Então, podemos aplicar a lei dos senos no triângulo da figura:

x A s e n   θ = L s e n   60 °

x A = 2 3 L   s e n   θ

Passo 2

Podemos derivar em relação ao tempo a equação que acabamos de encontrar, obtendo:

x ˙ A = 2 3 L cos ⁡ θ θ ˙

Porém, x ˙ A = v , então:

v = 2 3 L cos ⁡ θ θ ˙

θ ˙ = 3   v 2 L cos ⁡ θ

Passo 3

Como queremos ω = θ ˙ apenas em função de x A , e não de θ , temos que substituir cos ⁡ θ por outra expressão. Pra isso, podemos voltar na equação obtida no P a s s o   1 :

x A = 2 3 L   s e n   θ

s e n   θ = 3   x A 2 L

Pela relação fundamental da trigonometria:

cos ⁡ θ = 1 - s e n 2 θ

cos ⁡ θ = 1 - 3   x A 2 L 2

cos ⁡ θ = 1 - 3 x A 2 4 L 2

Logo,

ω = θ ˙ = 3   v 2 L cos ⁡ θ

ω = 3   v 2 L 1 - 3 x A 2 4 L 2

Resposta

ω = 3   v 2 L 1 - 3 x A 2 4 L 2

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