Enunciado

Deduza uma expressão para a eficiência mecânica do macaco discutido na Seção 8.6. Mostre que, se o macaco tem que ser autotravante, a eficiência mecânica não pode exceder 1 2 .

Passo 1

Primeiro vamos entender o problema! Na seção 8.6, temos a seguinte figura, que usaremos como base para mostrar o que a questão pede.

Note que, as forças atuando no macaco forma um triângulo. De tal modo que, a força Q e a força W formam um ângulo de 90° e o ângulo entre W e R é θ + ϕ r .

Passo 2

Logo podemos tirar algumas relações. Então:

tan ⁡ ( θ + ϕ r ) = Q W

Q = W   t a n   ( θ + ϕ r )

Lembre-se que, temos dois tipos de trabalho o trabalho de entrada dado por Q e o trabalho de saída dado por W. Logo vamos analizar o trabalho de entrada.

Se tiver achando um pouco complicado dê uma lida novamente da Secão 8.6. Que vai da certo! Voltando para o trabalho de entrada, que é dado por:

Q d x = ( W tan ⁡ ( θ + ϕ r ) )   d x

Certo, o trabalho de entrada foi tranquilo, o trabalho de saída é só atentarmos para outra relação, de modo que:

tan ⁡ θ = d y d x

Então o trabalho de saída que é dado por:

W d y

Torna-se:

W d y = W d x tan ⁡ θ

Portano a eficiência que é o trabalho de saída pelo trabalho de entrada é:

η = W tan ⁡ θ d x W tan ⁡ θ + ϕ r d x = tan ⁡ θ tan ⁡ θ + ϕ r

Passo 3

Já estamos quase terminando! Mas antes, vamos lembrar que se o conector é de travamento automático então:

ϕ r ≥   θ

Somando θ de ambos os lados temos:

θ + ϕ r ≥ 2 θ

Aplicando tangente em ambos os lados:

tan ⁡ θ + ϕ r ≥ tan ⁡ 2 θ

Do passo anterior sabemos que:

η = tan ⁡ θ tan ⁡ θ + ϕ r

Se substituirmos o denominador, teremos a desigualdade:

η ≤ tan ⁡ θ tan ⁡ 2 θ

Passo 4

Certo! Agora lembre-se de uma igualdade trigonométrica,

tan ⁡ 2 θ = 2 tan ⁡ θ 1 - tan 2 ⁡ θ

Substituindo na desisgualdade teremos:

η ≤ tan ⁡ θ 1 - tan 2 ⁡ θ 2 tan ⁡ θ

Simplificando:

η ≤ 1 - tan 2 ⁡ θ 2

Portanto:

η ≤ 1 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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