Enunciado

As deformações abaixo foram determinadas na superfície da base de uma máquina de ferro fundido. Sabendo-se que E = 70 G P a e G = 28 G P a , determinar os planos principais e as tensões principais: (a) pela determinação do correspondente estado plano de tensões. (Usar Eq. (2.36); Eq(2.43); e as duas primeiras equações do Prob. 2.76); e então, usar o círculo de Mohr para tensões; (b) Usando o círculo das deformações principais; e então, determinar as correspondentes tensões.

ε x = - 360 × 10 - 6   m m / m m

ε y = - 200 × 10 - 6   m m / m m

γ x y = + 330 × 10 - 6   r a d

Passo 1

Para resolver este problema nós primeiro temos de calcular o coeficiente de Poisson ν pela equação. Depois a gente vai aplicar a equação da tensão normal de modo a desenhar o ciclo de Mohr como pedido.

Por fim iremos fazer o ciclo de mohr para as deformações.

Passo 2

Para achar o coeficiente de Poisson a gente vai utilizar a equação:

G = E 2 ⋅ ( ν + 1 )

Dessa forma:

ν = E 2 G - 1

ν = 70 2 ⋅ 28 - 1

ν = 0,25

Passo 3

Vamos fazer então o ciclo de Mohr para deformações. Para isso a gente tem que lembrar como calcula a deformação específica normal média e o raio:

ε m é d = ε x + ε y 2

R = ε x - ε y 2 2 + γ x y 2 2

Perceba que é muito parecido com o ciclo de Mohr com as tensões mas aqui utilizamos:

  • ε que é a deformação específica normal.
  • γ que é a deformação angular.

utilizando os cálculos do passo 1:

ε m é d = ε x + ε y 2

ε m é d = - 360 × 10 - 6 - 200 × 10 - 6 )   2 = - 280 × 10 - 6   m m / m m

E

R = - 360 × 10 - 6 - ( - 200 × 10 - 6 )   2 2 + 330 × 10 - 6 2 2

R = 33625 × 10 - 12

R = 183 × 10 - 6   m m / m m

Agora podemos desenhar o ciclo de Mohr:

Passo 4

Para calcular a intensidade dessas deformações específicas normais principais temos que calcular ε m á x e ε m í n . Como já temos a média o o raio fica fácil:

ε a = ε m á x = ε m é d + R

ε a = ε m á x = - 280 × 10 - 6   + 183 × 10 - 6 = - 97 × 10 - 6   m m / m m

ε b = ε m í n = ε m é d - R

ε b = ε m í n = - 280 × 10 - 6 - 183 × 10 - 6 = - 463 × 10 - 6   m m / m m

Passo 5

Agora podemos achar o ângulo por meio da geometria do círculo de Mohr:

t g 2 θ p = γ ε x - ε y

t g 2 θ p = 330 - 360 - ( - 200 )

t g 2 θ p = - 2,0625

2 θ p = a r t c g - 2,0625 = 64 °

θ p = 32 °

Para achar o outro plano basta adicionar 90°

θ 2 = 122 °

Passo 6

Por fim para a gente achar as tensões devemos substituir na equação que relaciona tensão com deformação (lembrando que a gente calculou ν la no começo):

σ a = E 1 - ν 2 ⋅ ( ε a + ν ⋅ ε b )

σ a = 70 × 10 9 1 - 0,25 2 ⋅ ( - 97 × 10 - 6 + 0,25 ⋅ - 463 × 10 - 6 )

σ a = 74,67 × 10 9 ⋅ ( - 212,75 × 10 - 6 )

σ a = - 15,89   M P a

Para σ b

σ b = E 1 - ν 2 ⋅ ( ν ⋅ ε a + ε b )

σ b = 70 × 10 9 1 - 0,25 2 ⋅ ( 0,25 ⋅ - 97 × 10 - 6 + - 463 × 10 - 6 )

σ b = 74,67 × 10 9 ⋅ ( - 487,25 × 10 - 6 )

σ b = - 36,38   M P a

Como trata-se de um estado plano de tensões temos que σ c = 0

Resposta

b)

θ p = 32 °

θ 2 = 122 °

σ a = - 15,89   M P a

σ b = - 36,38   M P a

σ c = 0

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