Enunciado

As deformações específicas determinadas por uma roseta fixada, à superfície de um elemento de máquina são, conforme mostra a figura

ϵ 1 = - 93,1   μ ;                   ϵ 2 = + 385   μ ;                   ϵ 3 = + 210   μ

Determine (a) a orientação e a intensidade das deformações específicas principais no plano da roseta e (b) a máxima deformação por cisalhamento no plano.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar a equação 7.44 vista nesse capítulo, que nos dá a deformação ao longo de um eixo x ' qualquer, dada por:

ϵ x ' = ϵ x + ϵ y 2 + ϵ x - ϵ y 2 cos ⁡ 2 θ + γ x y 2 s e n   2 θ

E vamos utilizar essa relação nas 3 direções, lembrando que aqui estamos lidando com deslocamentos no círculo de Mohr, então para cada 1° de rotação na roseta, temos 2° no círculo. Fazendo isso, chegaremos em expressões para as direções 1, 2 e 3, depois disso é só resolver o sistema para chegar nos valores para as deformações. Com esses valores, conseguimos utilizar a equação 7.52, dada por:

t g   2 θ P = γ x y ϵ x - ϵ y

Para encontrar a orientação das deformações específicas principais pedidas na letra (a). Depois disso, vamos precisar encontrar as deformações principais, que são dadas por:

ϵ a = ϵ m e d + R

ϵ b = ϵ m e d - R

Então precisamos calcular a deformação média e o raio do círculo de Mohr. Feito isso, faltou só calcular a tensão de cisalhamento máxima no plano, e nesse caso, sabemos que ela será o diâmetro do círculo de Mohr. Então bora lá!

Passo 2

Beleza! Vamos escrever a deformação na direção 1, que está a um ângulo θ = - 75 ° da referência, utilizando a equação vista no passo 1. Então teremos:

ϵ 1 = ϵ x + ϵ y 2 + ϵ x - ϵ y 2 cos ⁡ - 150 ° + γ x y 2 s e n ( - 150 ° )

Beleza! Vamos guardar essa expressão aqui por enquanto. Agora vamos escrever a deformação na direção 2, que está a uma rotação de θ = 0 ° da referência, então teremos:

ϵ 2 = ϵ x + ϵ y 2 + ϵ x - ϵ y 2 cos ⁡ 0 ° + γ x y 2 s e n   0 °

ϵ 2 = ϵ x + ϵ y 2 + ϵ x - ϵ y 2 → ϵ 2 = ϵ x → ϵ x = 385   μ

Beleza! Já conseguimos o valor de ϵ x . Agora, vamos escrever a expressão para a deformação na direção 3, que está a uma rotação de θ = 75 ° da referência, então teremos:

ϵ 3 = ϵ x + ϵ y 2 + ϵ x - ϵ y 2 cos ⁡ 15 0 ° + γ x y 2 s e n   15 0 °

Agora, nós vamos somar as equações para ϵ 1 e ϵ 3 , chegando em:

ϵ 1 = ϵ x + ϵ y 2 + ϵ x - ϵ y 2 cos ⁡ - 150 ° + γ x y 2 s e n - 150 °

+

ϵ 3 = ϵ x + ϵ y 2 + ϵ x - ϵ y 2 cos ⁡ 150 ° + γ x y 2 s e n   150 °

=

ϵ 1 + ϵ 3 = ϵ x + ϵ y 2 + ϵ x - ϵ y 2 cos ⁡ - 150 ° + γ x y 2 s e n - 150 ° + ϵ x + ϵ y 2 + ϵ x - ϵ y 2 cos ⁡ 150 ° + γ x y 2 s e n   150 °

Simplificando essa expressão, chegamos em:

ϵ 1 + ϵ 3 = ϵ x + ϵ y + ϵ x - ϵ y 2 cos ⁡ - 150 ° + ϵ x - ϵ y 2 cos ⁡ 150 °

ϵ 1 + ϵ 3 = ϵ x + ϵ y + ϵ x - ϵ y cos ⁡ 150 °

ϵ 1 + ϵ 3 = ϵ x 1 + cos ⁡ 150 ° + ϵ y 1 - cos ⁡ 150 °

Isolando ϵ y dessa equação, teremos:

ϵ y = ϵ 1 + ϵ 3 - ϵ x 1 + cos ⁡ 150 ° 1 - cos ⁡ 150 °

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

ϵ y = - 93,1 + 210 - 385 1 - 0,866 1 + 0,866 → ϵ y = 35   μ

Passo 3

Agora vamos pegar a equação 1 e subtrair da 3, obtendo:

ϵ 3 - ϵ 1 = ϵ x + ϵ y 2 + ϵ x - ϵ y 2 cos ⁡ 150 ° + γ x y 2 s e n   150 ° - ϵ x + ϵ y 2 + ϵ x - ϵ y 2 cos ⁡ - 150 ° + γ x y 2 s e n - 150 °

ϵ 3 - ϵ 1 = γ x y s e n   150 °

Isolando a deformação de cisalhamento e substituindo os valores conhecidos, teremos:

γ x y = ϵ 3 - ϵ 1 s e n   150 ° = 210 - - 93,1 0,5

γ x y = 606,2   μ

Agora, podemos finalmente encontrar a direção principal através de:

t g   2 θ P = γ x y ϵ x - ϵ y = 606,2 385 - 35 → θ P = 30 °

E, como sabemos que a outra direção principal fica a 90° de inclinação no elemento diferencial (ou seja, a 180° no círculo de Mohr), então a outra direção será:

θ P = 30 ° + 90 ° → θ P = 120 °

Passo 4

Ainda na letra (a), precisamos encontrar as deformações principais, que são dadas por:

ϵ a = ϵ m e d + R

ϵ b = ϵ m e d - R

Então, vamos começar calculando a deformação média, que é dada por:

ϵ m e d = ϵ x + ϵ y 2 = 385 + 35 2 → ϵ m e d = 210   μ

Agora, para o raio do círculo de Mohr, teremos:

R = ϵ x - ϵ y 2 2 + γ x y 2 2 = 385 - 35 2 2 + 606,2 2 2

R = 350   μ

Então, as deformações principais serão:

ϵ a = ϵ m e d + R = 210 + 350 → ϵ a = 560   μ

ϵ b = ϵ m e d - R = 210 - 350 → ϵ b = - 140   μ

Beleza! Agora sim terminamos a letra (a). Bora pra (b) que ela é rapidinha!

Passo 5

Agora, para a letra (b), como sabemos que a deformação por cisalhamento máxima no plano será o diâmetro do círculo de Mohr, nós temos:

γ x y , P = 2 R

Substituindo o valor do raio encontrado no passo 4, chegamos em:

γ x y , P = 2 350 → γ x y , P = 700   μ

Shooow! Acabamos mais um!! Valeeu!

Resposta

a :   θ P = 30 ° ;   θ P = 120 °

a :   ϵ a = 560   μ ;   ϵ b = - 140   μ

b :   γ x y , P = 700   μ

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