Enunciado

Para o estado plano de deformação dado, use o círculo de Mohr para determinar (a) a orientação e a intensidade das deformações principais, (b) a deformação máxima no plano e (c) a deformação de cisalhamento máxima.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos precisar desenhar o círculo de Mohr para as deformações, para fazer isso, precisamos dos pontos X, Y e do centro C do círculo, fazendo isso, conseguimos encontrar a orientação das deformações principais. Para finalizar a letra (a) e encontrar a intensidade das deformações principais, vamos precisar calcular a deformação média e a o raio do círculo de Mohr.

Depois, para as letras (b) e (c), vamos analisar os sinais das deformações principais para encontrar a deformação máxima no plano e a deformação de cisalhamento máxima. Então bora lá!

Passo 2

Então, vamos começar escrevendo as deformações que foram dadas no enunciado:

ϵ x = - 180   μ

ϵ y = - 260   μ

γ x y = 315   μ

Agora, com esses valores podemos calcular a deformação média, que será dada por:

ϵ m e d = ϵ x + ϵ y 2 = - 180 + - 260 2 → ϵ m e d = - 220   μ

Agora, sabemos que os pontos do círculo de Mohr são dados por:

X = ϵ x , - γ x y 2 = - 180 ; - 157,5   μ

Y = ϵ y , γ x y 2 = - 2 60 ; 157,5   μ

C = ϵ m e d , 0 = - 220 ; 0   μ

E, agora, vamos calcular o raio do círculo de Mohr, que será dado por:

R = ϵ x - ϵ y 2 2 + γ x y 2 2 = - 180 - - 260 2 2 + 315 2 2

R = 162,5   μ

Com esses valores, podemos finalmente desenhar o círculo de Mohr, que para o nosso caso será:

Passo 3

Então, no nosso caso, a direção principal será dada por:

t g   2 θ P = γ x y ϵ x - ϵ y

E, substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

t g   2 θ P = 315 - 180 - - 260 → θ P = 37,87 °

E, como sabemos que a outra direção principal fica a 90° de inclinação no elemento diferencial (ou seja, a 180° no círculo de Mohr), então a outra direção será:

θ P = 37,87 ° + 90 ° → θ P = 1 27,87 °

Agora, para encontrar a intensidade das deformações principais, vamos utilizar as seguintes relações para encontrar as deformações nos pontos A e B do nosso círculo:

ϵ a = ϵ m e d + R = - 220 + 162,5 → ϵ a = - 57,5   μ

ϵ b = ϵ m e d - R = - 220 - 162,5 → ϵ b = - 382,5   μ

Beleza! Fechamos a letra (a).

Passo 4

Agora, para a letra (b), a primeira coisa que devemos notar é que as deformações principais possuem o mesmo sinal, como podemos ver pelo círculo de Mohr também! Ou seja, como sabemos que o círculo tridimensional toca a origem, a nossa deformação normal máxima será:

ϵ m a x = 0

Sendo assim, a deformação máxima no plano será o próprio diâmetro do círculo de Mohr, ou seja:

γ m a x , P = 2 R = 2 162,5 → γ m a x , P = 325   μ

Passo 5

Beleza, e agora, para a letra (c), sabemos que a deformação máxima de cisalhamento será dada por:

γ m a x = ϵ m a x - ϵ m i n

Então, com os valores encontrados no passo 3 e no passo 4, temos que:

ϵ m a x = 0   μ

ϵ m i n = - 382,5   μ

Então, a nossa deformação de cisalhamento máxima será:

γ m a x = 0 - ( - 382,5 ) → γ m a x = 382,5   μ

Shooow! Fechamos mais um exercício, valeeu!

Resposta

a :   θ P = 37,87 ° ;   θ P = 127,87 °

a :   ϵ a = - 57,5   μ ;   ϵ b = - 382,5   μ

b :   γ m a x , P = 260   μ

c :   γ m a x = 382,5   μ

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