Enunciado

As deformações específicas normais determinadas com o uso da roseta da figura, colada na superfície de um componente estrutural, são:

ε 1 = + 110   μ

ε 2 = + 212,5   μ

ε 3 = + 240   μ

Determinar: (a) as três deformações específicas normais no ponto onde as medidas foram feitas; (b) a máxima deformação de cisalhamento nesse ponto. Considere ν = 0,30 . (Nota: Lembrar que a superfície livre de um componente estrutural ou de máquina está em um estado plano de tensões.)

Passo 1

Esse problema nos fornece as deformações por meio da utilização da roseta, então a gente vai ter que achar as deformações através dos valores dados, primeiro vamos calcular os ângulos da roseta:

θ 1 = 45 °

θ 2 = 0 °

θ 3 = 180 ° - 45 ° = 135 °

A partir daí a gente vai ter que achar as deformações ε x   e   ε y . Vamos fazer isso no segundo passo.

Depois que achamos essas deformações podemos fazer o ciclo de Mohr e a brincadeira já ta no papo, partiu então!

Passo 2

As equações que vamos utilizar são da seguinte forma:

ε θ = ε x ⋅ c o s 2 ( θ ) + ε y ⋅ s e n 2 ( θ ) + γ x y ⋅ sen ⁡ θ ⋅ c o s ⁡ ( θ )

Daí é só substituir:

Para θ 1 = 45 °

ε 45 ° = ε x ⋅ c o s 2 ( 45 ° ) + ε y ⋅ s e n 2 ( 45 ° ) + γ x y ⋅ sen ⁡ 45 ° ⋅ c o s ⁡ ( 45 ° )

+ 110 = ε x ⋅ 0,5 + ε y ⋅ 0,5 + γ x y ⋅ 0,5

Para θ 2 = 0 °

ε 0 ° = ε x ⋅ c o s 2 ( 0 ° ) + ε y ⋅ s e n 2 ( 0 ° ) + γ x y ⋅ sen ⁡ 0 ° ⋅ c o s ⁡ ( 0 ° )

+ 212,5 = ε x

Para θ 3 = 135 °

ε 135 ° = ε x ⋅ c o s 2 ( 135 ° ) + ε y ⋅ s e n 2 ( 135 ° ) + γ x y ⋅ sen ⁡ 135 ° ⋅ c o s ⁡ ( 135 ° )

+ 240 = ε x ⋅ 0,5 + ε y ⋅ 0,5 + γ x y ⋅ ( - 0,5 )

Assim, temos o seguinte sistema:

+ 212,5 = ε x

+ 110 = ε x ⋅ 0,5 + ε y ⋅ 0,5 + γ x y ⋅ 0,5

+ 240 = ε x ⋅ 0,5 + ε y ⋅ 0,5 + γ x y ⋅ ( - 0,5 )

Passo 3

Vamos resolver esse sistema:

Substituindo ε x nas duas últimas equações:

+ 110 = 106,25 + ε y ⋅ 0,5 + γ x y ⋅ 0,5

ε y ⋅ 0,5 + γ x y ⋅ 0,5 = 3,75

+ 240 = 106,25 + ε y ⋅ 0,5 + γ x y ⋅ ( - 0,5 )

ε y ⋅ 0,5 + γ x y ⋅ - 0,5 = 133 , 75

Somando as duas equações:

ε y ⋅ 0,5 + γ x y ⋅ 0,5 = 3,75

ε y ⋅ 0,5 + γ x y ⋅ - 0,5 = 133 , 75

ε y = 137,5

Subtraindo as mesmas duas equações:

ε y ⋅ 0,5 + γ x y ⋅ 0,5 = 3,75

ε y ⋅ 0,5 + γ x y ⋅ - 0,5 = 133 , 75

γ x y = 130

Assim temos as nossas deformações:

ε x = + 212,5   μ

ε y = + 137,5   μ

γ x y = + 130   μ

Passo 4

Vamos fazer então o ciclo de Mohr para deformações. Para isso a gente tem que lembrar como calcula a deformação específica normal média e o raio:

ε m é d = ε x + ε y 2

R = ε x - ε y 2 2 + γ x y 2 2

Perceba que é muito parecido com o ciclo de Mohr com as tensões mas aqui utilizamos:

  • ε que é a deformação específica normal.
  • γ que é a deformação angular.

utilizando os cálculos do passo 1:

ε m é d = ε x + ε y 2

ε m é d = 212,5 + 137,5 2 = 175   μ

E

R = 212,5 - 137,5 2 2 + 130 2 2

R = 5631,25

R = 75   μ

Agora podemos desenhar o ciclo de Mohr:

Passo 5

Para calcular a intensidade dessas deformações específicas normais principais temos que calcular ε m á x e ε m í n . Como já temos a média o o raio fica fácil:

ε a = ε m á x = ε m é d + R

ε a = ε m á x = 175 + 75 = 250   μ

ε b = ε m í n = ε m é d - R

ε b = ε m í n = 175 - 75 = 100   μ

Passo 6

Para achar a última deformação normal específica a gente precisa lembrar de uma coisinha. Que quando um objeto deforma em um eixo ele irá deformar em outro eixo também. Isso depende do coeficiente de Poisson ν para calcular essa deformação vamos utilizar a seguinte equação:

ε c = - ν 1 - ν ⋅ ( ε a + ε b )

Substituindo os valores calculados

ε c = - 0,3 1 - 0,3 ⋅ ( 250 + 100 )

ε c = - 150   μ

Aqui vale uma observação do fato de existir um sinal negativo da própria fórmula. Isso acontece porque quando há uma contração num eixo o outro alonga. Pega uma massinha e amassa, ela não ficar mais longa? Ou seja, as deformações tem sinais contrários.

Passo 7

Se lembra que a máxima deformação específica de cisalhamento no plano γ m á x   ( n o   p l a n o ) é obtida, também, pelo ciclo de Mohr e é igual ao raio a duas vezes o raio:

1 2 γ m á x ( n o   p l a n o ) = R

Mas a gente não quer no plano, queremos no ponto! Logo o nosso ciclo de Mohr sofre uma leve mudança ao adicionarmos o termo ε c

Perceba que o padrão:

1 2 γ m á x = R

Ainda é válido mas agora temos de pegar o círculo grandão, ou seja, a nova relação será:

2 R = ε a - ε c

Dessa forma:

γ m á x = 2 R = ε a - ε c

γ m á x = 250 - - 150 = 400 μ

Resposta

a)

ε a = 250   μ

ε b = 100   μ

ε c = - 150   μ

b)

γ m á x = 400 μ

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