Enunciado

Desenvolva uma expressão para a componente vertical média da tensão de cisalhamento que age no plano horizontal que passa pelo eixo, localizado a uma distância y do eixo neutro.

Passo 1

Neste primeiro passo vamos pensar um pouco em como a equação do cisalhamento (Equação 7.3) funciona. Observe a equação:

τ = V Q I t

V é o cisalhamento aplicado sobre a seção, e para todos os efeitos é constante. I é o momento de inércia de toda a seção, e por isso também é constante.

Q é o momento estático e varia dependendo do ponto em que queremos calcular a tensão. Já a base t , no caso de uma circunferência, também é variável.

Assim, para encontrar uma equação de cisalhamento que represente uma seção circular, precisaremos calcular as funções que representam Q e t

Passo 2

Então vamos começar calculando o momento de inércia, pois este é um valor constante.

I = π c 4 4

Passo 3

Agora vamos fazer uma função que represente a base.

Primeiro vamos imaginar uma “tira” sobre a circunferência, de espessura infinitesimal d y , a uma distância y do centro e de base t .

Podemos usar o teorema de pitágoras para determinar t em função de c e y .

t = 2 ⋅ c 2 - y 2

Passo 4

Com isso, podemos determinar o momento estático como uma soma do momento estático dessas “tiras” infinitesimais, isso é expresso pela integral da equação 7.2 do livro texto.

Q = ∫ A y d A

Vamos determinar a área de uma “tira” como:

d A = b ⋅ d y

d A = 2 ⋅ c 2 - y 2 ⋅ d y

Vamos substituir o valor da área na integral. Para gerar uma função para o momento estático integramos a partir de um ponto qualquer y até atingir o raio c .

Q = ∫ y c y ⋅ 2 ⋅ c 2 - y 2 ⋅ d y

Efetuando a integral:

Q = 2 3 c 2 - y 2 3 / 2 y c

Chegamos na expressão:

Q = 2 3 c 2 - y 2 3 / 2

NOTA: a integral se dá de “ y à c” e não ao contrário. Pois observe que o sentido de crescimento de y é do centro até o tamanho do raio c

Passo 5

Agora aplicamos isso na equação 7.3

τ = V Q I t

τ = V ⋅ 2 3 c 2 - y 2 3 / 2 π 4 c 4 ⋅ 2 c 2 - y 2

Chegamos a uma função que representa a tensão em qualquer ponto da seção circular.

τ = 4 V 3 π c 4 ⋅ ( c 2 - y 2 )

Resposta

τ = 4 V 3 π c 4 ⋅ ( c 2 - y 2 )

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