Enunciado

Desenvolva uma expressão para a velocidade de subida v do mecanismo de elevação de veículos em termos de θ . A haste do pistão do cilindro hidráulico está se estendendo na taxa s ˙ .

Passo 1

O enunciado deu a taxa com que o cilindro se expande, então nossa primeira tarefa é relacionar essa taxa com as outras grandezas do problema.

Vamos aplicar a lei dos cossenos nesse problema:

s 2 = b 2 + L 2 - 2 L b cos ⁡ θ

E derivando isso em relação ao tempo (lembrando que b e L são constantes):

2 s s ˙ = 2 L b θ ˙ sin ⁡ θ  

Mas nosso objetivo é encontrar uma função que dê a velocidade de subida da plataforma.

Passo 2

Dê uma olhada na haste da esquerda, podemos aproveitar aquele ângulo para escrever uma relação que dá a altura da plataforma:

y = 2 b sen ⁡ θ

E derivando em relação ao tempo:

y ˙ = 2 b ( θ ˙ ) cos ⁡ θ

E podemos usar a fórmula que encontramos no passo 1 para substituir θ ˙ nessa equação:

2 s s ˙ = 2 L b θ ˙ sin ⁡ θ  

θ ˙ = s s ˙ L b sen ⁡ θ

E então:

y ˙ = 2 b s s ˙ L b sen ⁡ θ ˙ cos ⁡ θ

E y ˙ = v é justamente a velocidade que queremos encontrar:

v = 2   s   s ˙ L   t a n ⁡ ( θ )  

E só precisamos substituir a expressão para s que encontramos lá em cima:

s = b 2 + L 2 - 2 L b cos ⁡ θ

E então:

v = 2 s ˙ L   t a n ⁡ ( θ ) b 2 + L 2 - 2 L b cos ⁡ θ  

Resposta

A velocidade de elevação da plataforma é v = 2 s ˙ L   t a n ⁡ ( θ ) b 2 + L 2 - 2 L b cos ⁡ θ .

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